Транспонированная форма цифровых фильтров

Поменяем в схеме на рис. 6.20 последовательность выполнения операций умножения и задержки, использовав в каждой ветви отдельную линию задержки на требуемое количество отсчетов. Разделим также общий сумматор на несколько двухвходовых сумматоров с одним выходом в каждом. Получившаяся структура фильтра представлена на рис. 6.26, а. Рассмотрев любую пару соседних сумматоров, можно заметить, что суммируемые ими сигналы получают некоторую общую задержку. Это дает возможность поменять местами операции суммирования и задержки. Полученная схема (рис. 6.26, б) называется транспонированной (от transposition — перестановка) реализацией цифрового фильтра.

Рис. 6.26. Транспонированная форма нерекурсивного цифрового фильтра:

а — изменение последовательности операций умножения и задержки;

6 — транспонированная реализация Для простоты преобразование в транспонированную форму проведено для нерекурсивного фильтра, однако такое преобразование можно осуществить и с рекурсивным фильтром. Для этого в структурной схеме на рис. 6.26, 6 необходимо ввести все ветви с коэффициентами Ь_т, включая Ь₀ (рис. 6.27).

Транспонированная форма цифрового фильтра позволяет эффективно распараллелить вычисления, и потому ее применяют при реализации фильтров в виде интегральных схем, фактически — сигнальных микропроцессоров.

Действительно, при реализации цифрового фильтра в форме рис. 6.20 или 6.21 можно одновременно выполнять все операции умножения, но для получения выходного результата необходимо дождаться окончания выполнения всех операций сложения. В транспонированных же схемах фильтров наряду с умножением можно одновременно выполнять и все операции сло;

Рис. 6.27. Транспонированная реализация рекурсивного цифрового фильтра

жения, поскольку они являются независимыми, т. е. не используют в качестве суммируемых величин результаты других сложений. Анализ фильтра, приведенного на рис. 6.27, показывает, что для расчета выходного сигнала необходимо выполнить одно умножение и одно сложение, а все остальные операции выполняют подготовку промежуточных результатов для вычисления последующих выходных отсчетов.

Цифровые фильтры на сплайн-функциях. Вариантами рекурсивных фильтров являются фильтры, основанные на снлайн-функциях. В алгоритме такого фильтра применяют линейное преобразование на базе подвижного интервала, т. е. отфильтрованные значения вычисляются для средней точки интервала. При этом методе все отсчеты информационно связаны, но отсчеты вне интервала между отсчетами, определенными по методу косинусоидальной аппроксимации, с этим интервалом не связаны. Поэтому для фильтрации необходимо увеличивать число отсчетов, и этот метод трансформируется к усреднению.

Цифровые фильтры на основе нелинейных моделей Урысона. В последние годы стали широко использоваться нелинейные цифровые фильтры, основанные на применении дискретного аналога нелинейного интегрального оператора Урысона для построения математической модели исследуемой системы.

6.5.7. Частотные характеристики цифровых фильтров.

Рис. 6.28. Дискретная гармоника.

Положим, что на вход линейного цифрового фильтра подается дискретная гармоническая последовательность (6.48), бесконечная во времени (k = = 0, ±1, ±2, …). Используя формулу дискретной свертки (6.29), запишем т-й отсчет выходного сигнала цифрового фильтра в виде Важным показателем цифровых фильтров является частотный коэффициент передачи. Частотный коэффициент передачи цифрового фильтра легко определить, если входной сигнал условно представить в виде дискретной гармоники единичной амплитуды (рис. 6.28). Выборки гармонического сигнала u (t) = cos со?, взятые с интервалом дискретизации At, описываются дискретной последовательностью.

Просуммируем члены ряда по новому индексу п = т — k:

Из формулы (6.50) следует, что выходной сигнал цифрового фильтра имеет структуру дискретной гармонической последовательности с частотой, равной частоте со.

С помощью формулы (4.2) определим частотный коэффициент передачи цифрового фильтра. Поделив соотношение (6.50) на выражение (6.49) и учитывая, что в формулах используются т-е отсчеты, находим комплексный частотный коэффициент передачи фильтра:

Это соотношение позволяет сделать четыре очень важных вывода.

• 1. Частотные характеристики цифровых фильтров — непрерывные функции частоты.
• 2. Частотный коэффициент передачи цифрового фильтра К_п(со), как и спектр дискретного сигнала 5_г(со) (6.15), имеет периодическую структуру с периодом, равным частоте дискретизации со, = 2n/At. Периодическая структура частотного коэффициента передачи позволяет или выделить, или подавить отдельные составляющие спектра дискретного входного сигнала. Первый низкочастотный период коэффициента передачи называют главным частотным диапазоном.
• 3. Функция /С_ц(со) является дискретным преобразованием Фурье импульсной характеристики фильтра, представляемой последовательностью дельта-функций:

4. Для фильтров с вещественными коэффициентами импульсной реакции h{nAt) функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ — нечетной. С учетом этого частотные характеристики фильтров обычно задаются только на интервале положительных частот (0, со,) главного частотного диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно-сопряженными со значениями на интервале положительных частот.

Сравнив формулы (6.31) и (6.51), можно заметить, что для получения частотного коэффициента передачи достаточно в формуле (6.31) сделать подстановку z = e^jidAt:

Пример 6.19^[1][2][3]

Пример 6.20.

Рассчитаем и построим АЧХ цифрового фильтра, структурная схема которого показана на рис. 6.29, а для фазовых значений соДt = 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Рис. 6.29. Характеристики цифрового фильтра:

а — структурная схема; б — АЧХ.

Решение

Поскольку алгоритм работы подобного фильтра у_к = щ — и_к, то 2-преобразование выходных отсчетов (Ьильтпа будет.

Тогда системная функция фильтра.

Сделав замену 2 = e^iaAI, находим частотный коэффициент передачи:

Как и в линейных аналоговых фильтрах, модуль частотного коэффициента передачи представляет АЧХ цифрового фильтра:

График АЧХ, построенный в соответствии с этой формулой, показан на рис. 6.29, б, где по оси абсцисс отложен дискретный фазовый угол юДД Пример 6.21.

Сделав замену z = e^ja)At, находим частотный коэффициент передачи:

К_п(со) = 1 + е^ш + e^i2xsM = 1 + cos (coAO + cos (2coA0 -y[sin (coAO + sin (2.

Как и в линейных аналоговых с|>ильтрах, модуль частотного коэффициента передачи представляет АЧХ цифрового фильтра:

Построенный по этому выражению график АЧХ показан на рис. 6.30, а, где по оси абсцисс отложен дискретный фазовый угол соАГ. Заметим, что одному заданному интервалу дискретизации At соответствует фазовый угол соД? = 60°.

Рис. 6.30. К примеру 6.21 расчета характеристик цифрового фильтра:

а — АЧХ; б — сигнал на входе; в — сигнал на выходе Фазочастотная характеристика фильтра определяется по известной фо

Пусть на вход данного фильтра подается дискретная гармоника (рис. 6.30, б). В этом случае цифровая входная последовательность будет иметь вид.

…, 0,1,1, 0,-1,-1, 0,1,1, 0,…

В соответствии с заданным алгоритмом выходной сигнал фильтра.

…, 2, 2, 0, -2, -2, 0, 2, 2,…

Как следует из значений выходных отсчетов, ей отвечает дискретная гармоника гой же частоты, что и на входе. Амплитуда выходной гармоники равна удвоенной амплитуде входной гармоники, а начальная фаза смещена на 60° (т.е. на угол, равный одному интервалу дискретизации) в сторону запаздывания (рис. 6.30, в).

Программное обеспечение БПФ, имеющееся во многих системах компьютерной математики, допускает любое число точек входной функции, при этом для нечетного значения N частоте п соответствует отсчет на точке (N + 1)/2, не имеющий сопряженного отсчета, а при четном значении N отсутствует отчет на частоте л (она располагается между отсчетами k = N/2 и N/2 +1). Отсчетам с номерами k главного диапазона БПФ (за исключением k = 0) соответствуют комплексно-сопряженные отсчеты N + 1 — k (за исключением k = (JV+ 1)/2 при нечетном N).

• [1] Алгоритм нерекурсивной цифровой фильтрации имеет следующий вид: yk == 10м* + 5ик_{ + 2ик₂. Найдем импульсную характеристику, системную функцию и частотный коэффициент передачи цифрового фильтра. Решение С помощью формул (6.30), (6.31) и (6.51) определим hk, II (z) и Кп (со):
• [2] импульсная характеристика {hk} = (10, 5, 2);
• [3] системная функция H (z) = 10 + 5z~[ + 2z~2;