О коэффициентах, характеризующих несинусоидальность электрических величин

Для характеристики несинусоидальных электрических величин без постоянной составляющей вводится несколько коэффициентов.

1. Коэффициент несинусоидалъности или гармоник напряжения, вычисляется по формуле:

В формулах (6−17) — (6−19) U — действующее значение несинусоидального напряжения; ?/_t — действующее значение напряжения первой гармоники; U_m — максимальное значение напряжения; U_cp — среднее значение напряжения.

Анализ и расчет несинусоидальных цепей

Анализ и расчет несинусоидальных цепей производится в следующей последовательности.

• 1. Разлагают в ряд Фурье несинусоидальные ЭДС или напряжение источника питания, руководствуясь правилами и приемами, изложенными выше.
• 2. Тем или иным методом рассчитывают искомые величины (обычно токи и мощности) цепи при приложении к ней постоянной составляющей ряда, т. е. на этом этапе фактически рассчитывается цепь постоянного тока в установившемся режиме. Поэтому, если цепь содержит реактивные элементы, то учитывают, что напряжение на индуктивности и ток через емкость равны нулю, поскольку частота равна нулю.
• 3. Гармонические составляющие ряда — оригиналы и параметры цепи заменяют комплексными изображениями, руководствуясь правилами и приемами, использованными при анализе и расчете цепей синусоидального тока.
• 4. Рассчитывают цепь при приложении к ней комплексных изображений ЭДС или напряжений первой, второй, третьей и т. д. гармоник. Теоретически этих гармоник бесконечное число. На практике ограничиваются расчетами цепи до нескольких гармоник ЭДС или напряжений. При этом учитывается, что с ростом числа гармоник частота изменения тока увеличивается, что приводит к увеличению индуктивных и уменьшению емкостных сопротивлений цепи от каждой из них, поскольку X_Ik = &соL и Х_ск = = 1 / ЫС.
• 5. По результатам расчетов п. 2 и 5, используя метод наложения, определяют реальные искомые цепи.

Проиллюстрируем расчет несинусоидальной цени на следующем качественном примере. К цепи, но рис. 6.3, а приложено несинусоидальное напряжение Uj = U_m sinw^ = yf2U sinco^ при шДО, л), меняющееся по рис. 6.3, б. Требуется определить действующие значения напряжения, тока и мощности.

1. Разлагаем напряжение питания в гармонический ряд (ряд табличный):

Рис. 63.

Решение

Как очевидно из ряда, амплитуды гармоник напряжения быстро убывают, а частота интенсивно растет. Поэтому ограничимся расчетом цепи, когда к ней приложены постоянная составляющая t/₀ и две гармоники напряжений щ, и₄.

2. Расчет цепи при приложении к пей постоянного напряжения U₀ дает: /₀ = 0, поскольку в последовательную цепь включен конденсатор. Поэтому U_r= О, U_L = 0, U_c = 2U_m/n.

3. Находим действующие значения напряжений гармоник:

4. Определяем комплексы напряжений гармоник и параметров цепи: //,->(?,= 0,95 Uei⁰ = 0,95 U, и_А -" -U_A = -0,19(7; Z_x = г + /(wL — 1 / соС) =.

= ф'^[1] + (соL -1 / соС)^[1] ехр (/ arctg 1 / oi^[1]LC) = z₂e>'^р₁₍ Z₄ = г + /(4coL — 1 / 4шС) =.

= у] г^[1] + (4соL -1 / 4еоС)^[1] ехр (/ arctg 1 / 16co-LC) = z_Aei^_A.

5. Рассчитываем гармонические токи, активные и реактивные мощности: /, = (/,/Z, = 0,95(/ехр (-/ф₁) / Z, = /]ехр (-/ф,), /₄ = -U_A/Z₄ =

= -95(/ехр (-/ф₄) / Z₄ = -/₄ехр (-/ф₄); Р, = (/,/, соэф, = /,^[1]г, Р₄ = U_AI_A сохф_/( = /|г; Рнес = Pi + Рц Ql = ^{sin (}Pl = Ц^Х = A^[7](^WP «¹ / = UJi ^{sin (}P.4 = =

= /|(co! — 1 / wC); Q,_ICC = Qi + <2+.

6. Рассчитываем несинусоидальные ток, напряжение и мощность цепи:^пес = V^[8]!^{2 +/}f- ^Umc=4^U+Ui'' {{Li = LLi/Zl = 293 / 80с +^[1] = 3,66е +^[1] А, /4 = -UA / ZA = -59 / 609с788 «-0,1е->»" А,}}ncc=U^иск = л/^нес «(Рнес + <2нес);

Решенные задачи

Задача 6.1. К цепи на рис. 6.3, а с параметрами г = 25 Ом, I = 0,5 Гн, С = 40 мкФ приложено несинусоидальное напряжение м,/= t/", sin cot=f2 ? 220 sina>/=310sin314/ при o>/[0, л), меняющееся по рис. 6.3,6. Определить действующие значения напряжения, тока и мощности, ограничившись тремя первыми гармониками ряда.

Решение

• 1. Разлагаем напряжение питания в гармонический ряд (ряд табличный):
• 2 и AU AU AU

и, = _sinco/ _ _sinAmt + zXm. _sj_n6co/ - … = 197 + 413 sin314/ ;

^d л 1−3 3−5 5−7.

— 83 sin 1256/,+ 35 sin 1884/ -…; U₀ + u_A-u_A + u₆-… В ряде отсутствуют вторая, третья и нечетные гармоники.

Определяем действующие значения напряжений ряда: //, = 413 / 1,41 = 293 В, U_A = -83 / 1,41 = -59 В, U₆ = 35 / 1,41 = 25 В.

• 2. Расчет цепи при приложении к ней постоянного напряжения t/₀ = 197 В дает: /₀ = 0, U_r= 0, U_L = О, U_c= 197 В.
• 3. Комплексы напряжений гармоник и параметров цепи:

U —?> U_ = 293&° = 293 В, и_А —> -U_А = -59 В, u_G —" -U_₆ = 25 В; Z, = г+/(coL — 1 / соС) =.

5. Рассчитываем ток, напряжение и мощности цени: I = -^jlf + /| + /| = = V3,66² + 0, l²+0,03² = 3,7 Л; U = y]Uf +Щ+Щ = >/293²+59² + 25² = 300 В;Р=Р, + + Р₄ + Р₆ = 335 + 0,25 + 0,02 = 335,27 Вт; Q = Q, + & + <2е = Ю31 + 6 + 0,8 = 1037 ВАр;

S = UI = 300 • 3,7 = 1110 ВА, 5_ИСК = _yjS²-(P² + Q²) = Vlll0²-(335² + 1037²) = 211 ВЛ.

Задача 6.2. К цепи на рис. 6.4, а с параметрами г=18 Ом, 1=10 мГн приложено несинусоидальное напряжение, меняющееся по закону.

Даны также: Н_п = 46 В,/=200 Гц. Определить действующие значения напряжения, тока и мощности, ограничившись тремя первыми гармониками ряда.

Рис. 6.4.

Решение

1. Разлагаем напряжение питания в гармонический ряд (ряд табличный): м_нес = +2FIJ °.

=-У sin vco? = 50,8 sin cot -10 sin 5(o? + 7,3 sin 7wt -… = 50,8 sin 1256? -10 sin 6280?+.

7CV i.

+ 7,3 sin8792? — … = щ — u₅ + u₇ — … В ряде отсутствуют постоянная составляющая, гармоники, кратные 2 и 3.

Определяем действующие значения напряжений ряда: U_{ = 50,8 /1,41 «36 В, f/₅ = = -10/1,41 «-7 В, [/₇ = 7,3 / 1,41 ~5 В.

2. Поскольку в ряде отсутствует постоянная составляющая, записываем комплексы напряжений гармоник и параме тров цени: —"t/j = 36е$~36 В, w₄ —> -U_₅ ~ -1 В,.

и₆ -> Ц_₇ = 5 B;Z, = r+ jcaL = -Jr² +(caL)² cxp (j arctg оjL / r) = 13 + ;1256 • 10 10 ³ = 13 + + /12,6 = 7l3² + 12,6²еГ>² = 18е>^и Ом, Z₅ = r+j5mL = 13 + p ? 12,6 =13+ >63 = 64eP⁸ Ом, Z₇ = r + >7co₇L = 13 +/7 • 12,6 = 13 + 788 = 89е>⁸² Ом.

3. Рассчитываем гармонические токи, активные и реактивные мощности: /] =.

= U_t / Z, = 36 / = 2е~№ A, /₅ = -i/₅/Z₅ =-7/ 64еР⁸ = -0,11 е-Р⁸ A, I_₇ = U_₇/Z₇ =

= 5 / 89е1⁸² = 0, Обе I⁸² А; Р, = ?/,/, coscp, = /,²г = 22 13 = 52 Вт, Р₅ = l/₅/₅ coscp₅ = l = = 0,112 13 = 0,16 Вт, Р₇= f/₇/₇ cos (p₇ = Цг = 0,062? 13 = 0,05 Вт; Q, = У,/, sin.

Г (Х_{ = = 22 • 12,6 = 50,4 ВАр, Q₅ = ЦХ₅ = 0,112 • 63 = 0,8 ВАр, Q₇ = ЦХ₇ = 0,062 -88 = 0,3 ВАр.

4. Рассчитываем ток, напряжение и мощности цепи: I =sjlf + /² + /₇ = = ^2²+0,ll²+0,06² = 2 A; U = ^/² + Г/| + Щ = л/36² + 7² + 5² =37 В; Р= Р, + Р₅ + Р₇ = = 52 + 0,1 + 0,05 = 52 Bt;Q=Q| + & + Q₇ = 50,4 + 0,8 + 0,3 = 51,5 ВАр; 5= Ш= 37 • 2 = = 74 В А, 5″_ск = ^/5² — (Р² + Q²) = -^74² — (52² + 51,5²) = 11 ВА.

Задачи 6.1 и 6.2 иллюстрируют, что с ростом номеров гармоник токи и мощности падают интенсивно. Поэтому, как указывалось выше, можно ограничиться несколькими гармониками.

• [1] = yjr1 + (col -1 / со С)2 ехр (/ arctg[(o)I — 1 / со С) /?] = 25 +/(314 • 0,5 — 1 /314 • 40 • 10fi) = = 25 + /77 = V255+774 е'72 = 80е>72 Ом, Z4 = г + /(4coI — 1 / 4 to С) = 25 + /(4 • 314 * 0,5 —
• [2] = yjr1 + (col -1 / со С)2 ехр (/ arctg[(o)I — 1 / со С) /?] = 25 +/(314 • 0,5 — 1 /314 • 40 • 10fi) = = 25 + /77 = V255+774 е'72 = 80е>72 Ом, Z4 = г + /(4coI — 1 / 4 to С) = 25 + /(4 • 314 * 0,5 —
• [3] = yjr1 + (col -1 / со С)2 ехр (/ arctg[(o)I — 1 / со С) /?] = 25 +/(314 • 0,5 — 1 /314 • 40 • 10fi) = = 25 + /77 = V255+774 е'72 = 80е>72 Ом, Z4 = г + /(4coI — 1 / 4 to С) = 25 + /(4 • 314 * 0,5 —
• [4] = yjr1 + (col -1 / со С)2 ехр (/ arctg[(o)I — 1 / со С) /?] = 25 +/(314 • 0,5 — 1 /314 • 40 • 10fi) = = 25 + /77 = V255+774 е'72 = 80е>72 Ом, Z4 = г + /(4coI — 1 / 4 to С) = 25 + /(4 • 314 * 0,5 —
• [5] = yjr1 + (col -1 / со С)2 ехр (/ arctg[(o)I — 1 / со С) /?] = 25 +/(314 • 0,5 — 1 /314 • 40 • 10fi) = = 25 + /77 = V255+774 е'72 = 80е>72 Ом, Z4 = г + /(4coI — 1 / 4 to С) = 25 + /(4 • 314 * 0,5 —
• [6] = yjr1 + (col -1 / со С)2 ехр (/ arctg[(o)I — 1 / со С) /?] = 25 +/(314 • 0,5 — 1 /314 • 40 • 10fi) = = 25 + /77 = V255+774 е'72 = 80е>72 Ом, Z4 = г + /(4coI — 1 / 4 to С) = 25 + /(4 • 314 * 0,5 —
• [7] — 1 / 4 • 314 • 40 • 10−6) = 25 + /608 = бОЭе"88 Ом, Z6 = г + /(6coI — 1 / бсоС) = 25 ++j (6? 314? 0,5 -1/6−314−40 10−6) = 25 + /929 = 930е/"7 Ом.
• [8] РА = -UAIA cosф4 = 1 г = 0,12? 25 = 0,25 Вт, Р6 = 1! ф cos (p6 = ф = 0,032 • 25 = 0,02 Вт;
• [9] Li = LLi/Zl = 293 / 80с +{{= yjr1 + (col -1 / со С)2 ехр (/ arctg[(o)I — 1 / со С) /?] = 25 +/(314 • 0,5 — 1 /314 • 40 • 10fi) = = 25 + /77 = V255+774 е'72 = 80е>72 Ом, Z4 = г + /(4coI — 1 / 4 to С) = 25 + /(4 • 314 * 0,5 —
• [10] = yjr1 + (col -1 / со С)2 ехр (/ arctg[(o)I — 1 / со С) /?] = 25 +/(314 • 0,5 — 1 /314 • 40 • 10fi) = = 25 + /77 = V255+774 е'72 = 80е>72 Ом, Z4 = г + /(4coI — 1 / 4 to С) = 25 + /(4 • 314 * 0,5 —