Фиктивные переменные в множественной регрессии. 
Модели ANOVA и ANCOVA

Уравнения множественной регрессии должны зачастую учитывать и качественные признаки (такие как, например, степень новизны, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и т. д.). Чтобы ввести такие факторы в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные количественные значения, т. е. квантифицировать в виде фиктивных переменных.

Например, включать в модель фактор «пол сотрудника» в виде фиктивной переменной можно в следующем виде:

Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как изменение зависимости при переходе от одной категории к другой при неизменности значений остальных параметров. Вывод о значимости влияния фиктивной переменной и существенности расхождения между качественными признаками производят на основе применения /-критерия Стьюдента к соответствующему коэффициенту в уравнении регрессии.

Таким образом, кроме моделей множественной регрессии, содержащих только количественные объясняющие переменные можно строить также модели, содержащие лишь качественные переменные, либо те и другие одновременно.

Регрессионные модели, содержащие лишь качественные объясняющие переменные, называются ANOVA-моделями (моделями дисперсионного анализа).

К примеру, в определенных случаях предполагаемую связь результирующего показателя и фактора можно представить моделью парной регрессии.

где 0 = 0, если некий фактор не проявляется и О = 1 в противном случае.

Очевидно, что для математического ожидания результирующего показателя тогда выполняется.

При этом коэффициент р₀ определяет среднее значение результата при отсутствии действия фактора, а коэффициент у указывает, на какую величину изменяется среднее при «включении» фактора. Проверяя статистическую значимость коэффициента у с помощью /-статистики либо значимость коэффициента детерминации R² с помощью F-статистики, можно определить, влияет или нет изучаемый фактор (например, степень новизны научно-технической новизны) на результирующий показатель (например, уровень продаж).

Вследствие дискретности фиктивной переменной ANOVA-модели представляют собой кусочно-постоянные функции. Естественно, что применимость таких моделей в экономике крайне ограничена. Гораздо чаще встречаются процессы, модели которых должны содержать как качественные, так и количественные переменные.

Модели, в которых объясняющие переменные носят как количественный, так и качественный характер, называются ANCOVA-моделями (моделями ковариационного анализа).

Простейшей является ANCOVA-модель с одной количественной и одной качественной переменной, имеющей два альтернативных состояния (дихотомический признак):

Можно, например, через У обозначить уровень оплаты труда в фирме, через X — стаж пребывания в должности сотрудника фирмы, О — пол сотрудника. В этом случае ожидаемый уровень оплаты труда при X годах стажа будет:

Результирующий показатель в данном примере является линейной функцией от стажа работы, причем, и для мужчин, и для женщин (фактор, представляющий собой дихотомический признак) он определяется одним и тем же коэффициентом пропорциональности (3,. Свободные же члены в моделях (116), (117) отличаются на величину у. Проверив с помощью /-статистики значимость коэффициентов р₀ и (Р₀ + у), можно определить, имеет ли место в фирме дискриминация по половому признаку. Если эти коэффициенты окажутся статистически значимыми, то, очевидно, дискриминация есть. Более того, при у > 0 она будет в пользу мужчин, при у < 0 — в пользу женщин.

Таким образом, дихотомический фактор в модели ANOVA отражается одной фиктивной переменной.

Эту же ситуацию можно было описать и моделью вида где D, = 0, если сотрудник — мужчина;

D_} = 1, если сотрудник — женщина;

D₂ = 0, если сотрудник — мужчина;

D₂ = 1, если сотрудник — женщина.

Но между переменными D_t и D₂ существует строгая зависимость: 0₂ = 1 — Ц. Это означает, что и коэффициенты уравнения регрессии будут зависимы между собой и могут вычисляться один через другой. Существует общее правило: для качественной переменной с к альтернативных значений в эконометрической модели используется только (к — 1) фиктивная переменная.

Значение качественной переменной, для которого принимается D = 0, называется базовым или сравнительным. Выбор базового значения обычно диктуется целями исследования, но может быть и произвольным.

Коэффициент у в модели (114) иногда называют дифференциальным коэффициентом свободного члена, т. к. он показывает, на какую величину отличается свободный член модели при значении фиктивной переменной, равном единице, от свободного члена модели при базовом значении фиктивной переменной.

Естественно, что техника фиктивных переменных может быть распространена на произвольное число качественных факторов.