Анализ цикличности во временном ряду

Выявление сезонных (циклических) колебаний предполагает фильтрацию компонент, т. е. вычленение в модели (163) процесса y_t составляющих u_t, v_t и е*. Если циклическая компонента присутствует в исходных данных, то при построении эконометрической модели, ее необходимо исключить либо учесть адекватным образом.

Для установления цикличности используют графические методы или метод последовательных разностей.

Конечными разностями 1-го порядка являются разности между последовательными уровнями ряда:

Конечными разностями 2-го порядка являются разности между последовательными конечными разностями 1-го порядка:

Конечными разностями j -го порядка являются разности между последовательными конечными разностями (j- 1)-го порядка:

Если общая тенденция допускает представление в виде линейного уравнения X' = а+bt, то конечные разности 1-го порядка будут постоянны: Д; = Д; =… = А), а разности 2-го порядка равны нулю. Если же общая тенденция выражается параболой 2-го порядка X' = а + bt + ct², то постоянными будут конечные разности 2-го порядка: А* = Ад =… = А*, а нулевыми — разности 3-го порядка. Поэтому порядок j конечных разностей, остающихся примерно равными друг другу, принимают за степень выравнивающего полинома:

В случаях, когда примерно постоянными оказываются темпы роста, для выравнивания применяется показательная функция: X' = а-Ь⁽.

Таким образом, при наличии в динамическом ряду тенденции и цикличности эконометрическую модель процесса строят по первым разностям, определяя прирост результирующего показателя у*, а цикличность учитывают путем вычисления компоненты v_t (например, по методу Четверикова или методу Шискина-Эйзенпресса. Изложение этих методов можно найти в курсах статистики).

При проведении экспресс-анализа использование вышеназванных методов нецелесообразно вследствие их громоздкости. Поэтому при наличии цикличности эконометрическую модель чаще строят не в аддитивном представлении, а в мультипликативном, т. е. полагают.

где / -константа пропорциональности.

Коэффициент (константа) пропорциональности /, называемый также индексом сезонности, определяют по т принятым к рассмотрению циклам следующим образом:

где /, == для / = 1…т

Уу

п

- 2>. ;

и у, = ——, у[ — среднее в цикле с номером /.

Таким образом, индекс сезонности / характеризует степень отклонения сезонного временного ряда от тренда, иначе говоря, вариабельность (вариативность) ряда.

Так же, как изучение тенденции, исследование вариативности целесообразно начинать с графического изображения ряда.

Все многообразие встречающихся колебаний во временных рядах можно представить как суперпозицию трех основных типов вариативности:

• ? пилообразная или маятниковая;
• ? долгопериодические циклы колебаний;
• ? случайно распределенная во времени вариативность.

Графическое изображение каждого из этих типов помогает определить, какой тип колебаний преобладает во временном ряду и какие последствия это может иметь.

Характерной чертой пилообразной вариативности является правильное, регулярное чередование отклонений от тренда вверх и вниз, т. е. положительных по знаку и отрицательных, через одно. Поскольку это похоже на колебание маятника, данный тип вариативности называют также маятниковой.

Свойства пилообразной вариативности и ее последствия в социальноэкономическом прогнозировании таковы: из-за частой смены знака отклонения от тренда не происходит аккумуляции ни положительных, ни отрицательных отклонений. Создавать для их компенсации страховой запас необязательно.

Регулярность чередований обеспечивает их надежное прогнозирование. Число положительных отклонений при достаточно большой длине ряда равно (точнее, стремится к равенству) числу отрицательных отклонений, а общее количество локальных экстремумов (отклонений от тренда, которые либо меньше, либо больше двух соседних по алгебраической величине) равно числу уровней ряда. Причины пилообразной вариативности зависят как от внутренних факторов системы, так и от внешних.

Распознать наличие пилообразных колебаний как элемента во временном ряду можно, во-первых, по виду графика, во-вторых, подсчетом числа локальных экстремумов в ряду отклонений от тренда: чем это число ближе к числу уровней ряда, тем большую роль играют пилообразные колебания в общем комплексе. Третий способ распознавания — по знаку и величине коэффициента автокорреляции отклонений от тренда первого порядка, т. е. со сдвигом (лагом) на 1 год.

Коэффициент автокорреляции отклонений имеет форму:

Числитель данного коэффициента — это сумма произведений текущего отклонения на следующее, кроме последнего, в общем ряду отклонений. В этих произведениях первое отклонение и последнее, т. е. ц и и_я, участвуют только по одному разу, а отклонения от иг по Un- - по два раза. Соответственно в знаменателе в сумму квадратов отклонений входят вторые из упомянутых с единичным весом, а квадраты первого и последнего отклонений — с половинным весом. Чем ближе коэффициент автокорреляции к (-1), тем большую роль играет пилообразная составляющая в общей вариативности изучаемого временного ряда. При коэффициенте, по алгебраической величине превышающем (-0,3), можно считать пилообразную составляющую несущественной или отсутствующей вовсе, если длина ряда не больше 20 уровней.

Характерной чертой долгопвриодичвской циклической вариативности является наличие нескольких (многих) подряд отклонений одного знака, затем сменяющихся примерно таким же количеством отклонений противоположного знака подряд. Затем весь цикл вновь повторяется, причем, как правило, длина всех циклов одинакова или примерно равная. Если равенство отдельных циклов существенно нарушается, говорят о квазициклической вариативности, т. е. как бы циклической.

В циклической вариативности отклонения одного и того же знака следуют подряд в течение примерно половины длины цикла. Следовательно, для их компенсации требуется большой страховой запас. Например, для удовлетворения спроса на молоко в осенне-зимний период нужен запас в форме сухого мо-* пока, масла и других сохраняемых молочных продуктов.

Для прогнозирования циклическая вариативность благоприятна, особенно если длина цикла строго постоянна. Прогноз на любой будущий период состоит из прогноза тренда и циклического отклонения от него, соответствующего фазе цикла в прогнозируемый период. Например, зная, что солнечная активность имеет 10−11-летнюю периодичность и что предыдущий цикл имел максимум в 2000;2001 гг., можно уверенно прогнозировать следующий максимум на 2011 г.

Как правило, за цикл наблюдаются два экстремума отклонений от тренда — один максимум и один минимум. Следовательно, за период, состоящий из N уровней, насчитывается экстремумов:

где / -длина цикла.

Причиной циклической вариативности является какая-либо основная сила, влияющая на уровень изучаемого явления. Иначе говоря, есть главный фактор, вызывающий колебания. Сезонные колебания температуры, осадков, а следовательно, и производства, и потребления многих видов продукции зависят от одного фактора — наклона земной оси к плоскости орбиты Земли. Причина же циклической вариативности солнечной активности пока науке неизвестна.

Распознать циклическую долгопериодическую вариативность можно по виду графика, подсчетом числа экстремумов в ряду отклонений от тренда и по коэффициенту автокорреляции отклонений I порядка. Если число локальных экстремумов в ряду отклонений мало, то можно предположить наличие циклической вариативности. Поскольку отклонения одного и того же знака следуют подряд, их произведения являются положительными числами, а отрицательные произведения встречаются лишь дважды за цикл — при пересечении графиком фактического ряда уровней тренда вниз и вверх. Следовательно, коэффициент автокорреляции при долгопериодической вариативности — величина положительная, стремящаяся к +1 при / -> оо. При наличии фактического коэффициента больше чем +0,3 можно считать, что в общей вариативности временного ряда есть существенная циклическая составляющая, а при коэффициенте > 0,7−0,6 циклическая составляющая является главной.

Для нахождения длины цикла, особенно если цикличность не строгая, а «квази», нужно последовательно вычислить коэффициенты автокорреляции отклонений от тренда разных порядков, т. е. с лагом 1, 2, 3 и т. д. периодов времени. Наибольший по абсолютной величине коэффициент автокорреляции отметит длину цикла.

Для случайно распределенной во времени вариативности характерной чертой является хаотичность последовательности отклонений, как бы мелкие «куски» пилообразной и циклической вариативности разных длин цикла, перемешанные друг с другом. Вследствие непредсказуемости такую изменчивость западные учебники называют «волотильностъю».

Для ситуации волотильности характерны два аспекта:

• ? из-за хаотического чередования знаков отклонений от тренда их взаимопогашение наступает только в достаточно длительном периоде, а на коротких отрезках отклонения могут аккумулироваться, значит, необходимы довольно значительные резервы, страховые запасы для гарантии от колебаний;
• ? случайно распределенная во времени вариативность неблагоприятна для прогнозирования, ибо в любом прогнозируемом периоде может осуществиться с равной вероятностью как положительное, так и отрицательное отклонение от тренда.

Причиной случайно распределенных колебаний служит наличие большого комплекса независимых или слабосвязанных между собой факторов, влияющих на уровни изучаемого явления. Наличие множества примерно равноправных и независимых факторов означает также, что нельзя существенно уменьшить вариативность, воздействуя только на какой-либо отдельный фактор. Необходимо, если это возможно, регулировать все основные факторы, что, например, и делается в агротехнике при посадках в защищенном грунте (теплицах).

Коэффициент автокорреляции отклонений от тренда при случайно распределенной вариативности стремится к нулю при увеличении длины ряда. Если ряд состоит менее чем из 19−22 уровней, коэффициенты автокорреляции I порядка, не превышающие 0,3 по абсолютной величине, свидетельствуют о преобладании случайной компоненты в общем комплексе колебаний.

В некоторых отраслях экономики сезонная компонента не проявляется или же ее влияние пренебрежимо мало. В других, таких как, например, строительство или туристический бизнес, сезонными эффектами пренебрегать невозможно.

Рассмотрим условный пример о расходах на создание новшеств фирмами за период с января 1998 по декабрь 2003 г. (см. приведенную таблицу). Прогноз тенденций расходов представляет интерес как для руководства фирм, так и для фирм-реципиентов новшества. Потребителям же важно оценить, справятся ли фирмы с дополнительными заказами.