Учет случайности объясняющих переменных в эконометрическом эксперименте

Большинство предшествующих рассуждений об обеспечении адекватности эконометрической модели реальному процессу сводилось к определению ошибок коэффициентов регрессии. К точности определения результирующего показателя мы обращались лишь при рассмотрении вопроса о ширине коридора ошибок прогноза по парной линейной регрессии. Такому положению, имеющему место во всей эконометрической литературе, можно дать следующее объяснение.

Метод наименьших квадратов, как один из основных в эконометрике, предполагает детерминированный характер объясняющих переменных, что позволяет в последующем ошибку модели отождествить со стохастической компонентой, а значит и оценить ее вероятностно. Но в реальности поведение объясняющих переменных остается неизвестным, и только система допущений (которые, как мы уже показывали, необходимо проверять) переводит факторы модели в случайные величины, что, однако, не обеспечивает их предопределенности при построении регрессии. Таким образом, на ошибку расчета коэффициентов в рамках предпосылок МНК накладывается погрешность определения значений регрессоров, что не так существенно для отдельного коэффициента, но может значительно изменить рассчитанное по уравнению значение результирующего показателя. Именно поэтому большинство руководств по эконометрике излагает порядок учета изменений в значениях факторов, но не порядок расчета результирующего показателя (изучаемой величины).

В естественнонаучных приложениях, чтобы охарактеризовать отклонение получаемого в эксперименте приближенного значения изучаемой величины от ее истинного значения, вводят понятия абсолютной и относительной погрешностей. При этом конкретизация источника погрешности не проводится. Основной трудностью для получения оценки погрешности эксперимента в этом случае является то, что, как правило, истинное значение изучаемой величины неизвестно.

Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Пусть А точное (в общем случае неизвестное) значение какой-то величины и, а — ее приближенное значение. Абсолютной ошибкой, или погрешностью величины, а называют модуль разности.

Из соотношения (119) видно, что? имеет размерность той величины, погрешность которой она определяет.

Характеристика точности приближенного числа а, даваемая величиной ?, является недостаточной. Действительно, если абсолютная погрешность ?, характеризующая измерения, одна и та же, а измеряемая величина в одном случае равна a_1t а в другом — а₂ = 10а, то, очевидно, во втором случае измерение обладает большей относительной точностью, чем в первом. Например, если измерение температуры производится с точностью ±0,1^э и измерены температуры 20 ±0,1 и 200 ± 0,1°, то экспериментальный уровень во втором случае значительно выше, чем в первом, хотя абсолютная ошибка в обоих случаях одинакова.

Чтобы охарактеризовать относительную точность измерения, не зависящую от измеряемой величины, вводят относительную погрешность б, которая определяется равенством.

В формулы (119) и (120) однако входит неизвестная величина А, что делает численное определение погрешности невозможным. Поэтому на практике делают предположение об измерениях с наибольшей возможной точностью, что позволяет считать абсолютную погрешность много меньше самой приближенной величины, т. е. ?< <| А |. Но тогда и? «| а | или А «а. В итоге для достаточно точных измерений можно записать и, соответственно,.

Поскольку относительная погрешность, в отличие от абсолютной, является величиной безразмерной, то ее чаще всего выражают в процентах.

В большинстве экономических исследований, в т. ч. инновационного характера, интересующая аналитика величина непосредственно не измеряется, а рассчитывается как функция других величин. В эконометрике такой функцией становится оцененное уравнение регрессии. Очевидно, что погрешность искомой величины в этом случае определяется точностью задания аргументов и точностью представления реального процесса уравнением регрессии.

Итак, мы вынуждены признать, что достаточно точный расчет результирующего показателя по уравнению регрессии возможен в очень редких случаях, когда есть достаточная уверенность в поведении изучаемой величины. В инновационном менеджменте это ситуация изучения и прогнозирования развития элементов внутренней среды предприятия. Рассмотрим на этом основании возможность оценки погрешности в прогнозе целевого показателя инновационного процесса по регрессионным моделям.

Предположим, что инновационный процесс представлен регрессией в функциональной форме у = /(х 1, хг…х_п). Требуется определить абсолютную и относительную погрешности результирующего показателя в предположении, что погрешности аргументов, которые в нашем случае соответствуют регрессорам, известны.

Вначале рассмотрим парную регрессию (функцию одного переменного). Пусть у = f (x). Очевидно, что погрешность аргумента Дх должна привести к погрешности функции Ду. Это можно записать так:

Функцию, стоящую в правой части равенства, разложим в ряд Тейлора по степеням Дх:

Предполагаем далее, что измерения модельных данных достаточно точны, так что величина Дх мала по сравнению с X. Тогда можно отбросить члены, содержащие Дх во второй и высших степенях. Получаем.

откуда.

Далее имеем.

Таким образом, при наличии погрешности в определении значений объясняющей переменной, абсолютная погрешность детерминированной составляющей парной регрессии как функции одного переменного равна абсолютной погрешности аргумента, умноженной на производную этой функции. Относительная погрешность в этом случае равна производной от ее натурального логарифма, умноженной на абсолютную ошибку аргумента (или просто дифференциалу ее натурального логарифма).

Определение абсолютной и относительной погрешности детерминированной составляющей множественной регрессии как функции неЬкольких независимых переменных является обобщением изложенной выше операции.

Пусть у = f (x_vx₂…х_я) — детерминированная составляющая множественной регрессии, где x_1fx₂,…, x_n — определенные на опыте приближенные и спрогнозированные величины факторов. Полагаем снова, что |Ду| = ?_у и AxJ = Е, и что величины Ах, настолько малы, что можно отбросить члены, содержащие Ах, в степенях выше первой. Тогда, разлагая функцию откуда.

в ряд Тейлора и отбрасывая лишние члены, получим.

Считая, что все погрешности имеют одинаковый знак, получим выражение для предельной абсолютной погрешности детерминированной составляющей как функции п переменных:

D & *.

В практических расчетах значения производных — берутся в точках,.

дх,

соответствующих измеренным значениям х. или средним арифметическим х, если производились серии измерений.

Для получения предельной относительной погрешности функции обе части равенства (128) делят на у:

Таким образом, предельная абсолютная погрешность детерминированной составляющей как функции п независимых переменных равна модулю полного дифференциала от натурального логарифма этой функции.

Окончательно имеем, что для получения погрешности результирующего показателя ошибка регрессии, оцененная в предположении выполнимости предпосылок МНК, должна складываться с ошибкой детерминированной составляющей.

В заключение следует отметить, что уверенность в надежности результатов эконометрического эксперимента создается, прежде всего, высоким качеством его постановки, т. е. выбором надежных технических средств, адекватных математических моделей и т. п. Строгая математическая обработка результатов — только одно из средств достижения чистоты эксперимента.