Простейшие авторегрессионные модели

Модель алотивных ожиланий

Ожидания играют весьма существенную роль в инновационной активности. Это в известной мере затрудняет моделирование соответствующих процессов и прогноз развития экономики. Например, прогнозирование объема инвестиций только на основе процентной ставки не позволяет получить удовлетворительный прогноз для роста инновационной активности. Для ее стимулирования весьма существенную роль играет экономическая политика государства, учитывая которую, потенциальные инвесторы принимают решение. В частности, политика обеспечения полной занятости вполне обоснованно рассматривается как стимулирование инфляции, что подрывает доверие бизнесменов и снижает объемы инвестиций.

Вследствие специфики фактора «ожидания» как качественной характеристики, его измерение и моделирование является весьма сложной задачей.

Одним из направлений ее решения является модель (процесс) адаптивных ожиданий. В данной модели представление ожиданий количественной величиной перманентно корректируется с получением информации о реализации исследуемого показателя. Если реальное значение показателя оказалось больше ожидавшегося на данный момент, то ожидаемое в следующем периоде значение корректируется в сторону увеличения. В противном случае — наоборот. Величина коррекции должна быть пропорциональна разности между реальным и ожидаемым значениями.

Внимательный читатель уже обратил внимание, что аналогичные рассуждения мы проводили при рассмотрении модели экспоненциального сглаживания, которую избирали для прогноза, если не удавалось построить трендовую модель. Здесь мы дадим процедуры, обосновывающие этот метод и позволяющие определять константу сглаживания.

В модели адаптивных ожиданий в уравнение регрессии в качестве объясняющей переменной вместо текущего значения х* входит ожидаемое (долгосрочное) значение х':

Т. к. ожидаемые значения не отражены фактическими измерениями, то выдвигается предположение, что они связаны с реальным наблюдением следующим соотношением:

Именно уравнение (182) и получило название модель адаптивных ожиданий. В нем коэффициент 0? у? 1 называется коэффициентом ожидания. Иногда модель (182) называют моделью адаптивного обучения, т. к. новые ожидания отталкиваются от прошлых ожиданий, скорректированных на величину ошибки, допущенной в предыдущем периоде. Часто в модели вместо текущего значения х, используют предыдущее х_м:

Перепишем уравнение (182) в виде.

Из него видно, что ожидаемое значение X* является взвешенным средним между текущим значением x_t и его ожидаемым значением в предыдущий период с весами у и 1 — у соответственно. Если у = 0, то ожидания являются неизменными (статичными): х, — х'_,. Если у = 1, то x_f* = х, что означает мгновенно реализуемые ожидания.

Применяя уже известный прием, т. е. вычитая из (185) аналогичное уравнение для у_м, умноженное на (1 — у), получим:

где v_f =e_f-(1-y)e_M.

Очевидно, что коэффициент Р определяет величину изменения в среднем текущего значения у, при изменении ожидаемого значения х* на единицу. По уравнению (186) при изменении текущего значения х, на единицу значение у, меняется в среднем на ру. Эти коэффициенты пропорциональности будут равны лишь при у = 1, т. е. когда текущее и ожидаемое в долгосрочном периоде значения случайной величины Xсовпадают (х, = х₍).

На практике при нахождении параметров уравнения (185) вначале оценивают параметр у (коэффициент при лаговом значении у), а затем коэффи-

Ву ау циент при х₍ (р = —) и свободный член (а = .

Предположим теперь, что зависимая переменная y_t в текущий момент времени связана с ожидаемым в следующий период времени значением объясняющей переменной x_f'₊₁ соотношением.

Для выражения y_t через реальные текущие и предыдущие значения объясняющей переменной X воспользуемся соотношением, аналогичным (184):

получим:

Продолжив процедуру использования соотношения (184) для x_f*__lP затем для х*_₂ и так до бесконечности, получим:

Наконец, подставив полученное х'₊₁ в (187), имеем:

Обозначив ру через Р₀ и (1 — у) через А, получаем соотношение, аналогичное уравнению (169):

к которому можно применить преобразование Койка.

Модель частичной корректировки

В модели частичной корректировки (модели акселератора) в уравнение регрессии в качестве зависимой переменной входит не фактическое значение уи а желаемое (долгосрочное) значение у (.

Т. к. гипотетическое значение у остается неизвестным, то относительно него выдвигается предположение частичной корректировки:

по которому фактическое приращение зависимой переменной пропорционально разнице между ее желаемым значением и значением в предыдущий период. Здесь 0? Л ? 1 — коэффициент корректировки. Уравнение (192) преобразуется к следующему виду:

Подставив (191) в (193), получим уравнение.

которое и называется моделью частичной корректировки.

Очевидно, что текущее значение yt является взвешенным средним желаемого уровня у* и фактического значения данной переменной в предшествующем периоде. Чем больше коэффициент А, тем быстрее идет корректировка, и при Л = 1 за один период происходит полная корректировка. При Л = О коррекция вовсе не имеет места.

Таким образом, в уравнении (191) определяется долгосрочное (желаемое) значение у переменной У (иногда под у* понимается равновесное значение). Можно сказать, что в уравнении (193) определяется краткосрочное значение y_t переменной У, которое далеко не всегда совпадает с долгосрочным. Однако, определив коэффициенты уравнения (194), мы тем самым оцениваем параметры и для уравнения (191). Поскольку в данной модели переменная у_м не коррелирует с текущим значением случайного отклонения е, (т. к. Е, рассчитывается после того, как определилось значение у_м), то МНК позволяет получить асимптотически несмещенные и эффективные оценки.