Методологическое прерывание 2.12. Удвоение куба и квадратура круга

Из трех знаменитых геометрических задач древности, не поддававшихся решению путем построений с помощью циркуля и линейки, — трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба — по-видимому, наибольшее внимание привлекала задача удвоения куба, а за ней следовала квадратура круга.

Между тем эти две задачи относились к разным классам: квадратура круга требовала построения отрезка, длина которого выражалась бы трансцендентным числом, а удвоение куба сводилось к решению простейшего кубического уравнения л:³ = 2, т. е. длина отрезка должна была измеряться алгебраическим числом.

Иначе задача удвоения куба формулировалась так: найти два средних пропорциональных между числами 1 и 2 — два таких числа (или отрезка) а и Ь, чтобы выполнялись соотношения 2 : b = b: а = а: 1. В общем случае вместо 1 и 2 могли быть произвольные числа или отрезки.

Очевидно, задача квадратуры круга могла решаться только приближенно, путем вписывания в круг и описывания вокруг него многоугольников с возрастающим числом сторон (Архимед дошел до 96-угольника).

Задача удвоения куба (путем построения) допускала точное решение, но при этом требовалось привлекать другие технические средства кроме циркуля и линейки. Может быть, именно поэтому ею занимались более активно и, в частности, предлагали механизмы для нахождения двух средних пропорциональных.

Другой подход к нахождению двух средних пропорциональных мы видим на примере Менехма, который использовал пересечение двух конических сечений.

Интересно, что оба этих пути были впоследствии обоснованы, исследованы и обобщены Рене Декартом (1596—1650).

Обратимся к статье С. А. Яновской [60] и воспроизведем из нее несколько отрывков:

«Как и Евклид, Декарт полагал… что алгебраические задачи нужно решать не вычислением, а построением. Однако Евклид ограничивался только задачами, сводящимися к квадратным уравнениям, а Декарт хотел решать алгебраические уравнения любого порядка…

Но для этого требовалось расширить запас средств построения. Спрашивается, как?

В ответ на этот вопрос Декарт дает сначала правило (схему) последовательного построения ряда шарнирных механизмов (обобщение мезолатии Эратосфена), позволяющее ему, в частности, считать решенной задачу о вставлении любого числа средних пропорциональных между двумя данными отрезками.

Больше того, Декарт знает уже, что с помощью плоских шарнирных механизмов можно строить дуги любых плоских алгебраических (и только алгебраических) кривых любого порядка…

В отличие от этого такие (трансцендентные) кривые, как спираль, квадратриса и им подобные [как говорит Декарт].

«действительно принадлежат только механике и не относятся к тем, которые должны, на мой взгляд, быть здесь допущены, так как их представляют себе описанными двумя отдельными движениями, между которыми не существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить»" [60, с. 257—258].

Далее [Там же, с. 265] С. А. Яновская приводит слова Декарта, относящиеся к решению задач, сводящихся к уравнениям первой и второй степени (у Декарта это «плоские» задачи), третьей и четвертой степени («телесные» задачи) и более сложных:

«После того как я дал построение всех плоских задач посредством пересечения прямой линии и окружности, всех телесных — посредством пересечения снова окружности и параболы и, наконец, всех задач, на одну степень более сложных, — посредством пересечения опять-таки окружности и линии, на одну степень более сложной, чем парабола, — для построения всё более и более, вплоть до бесконечности, сложных задач, нужно лишь следовать по тому же пути».

Мы видим, что задача удвоения куба, более простая, чем квадратура круга, — лишь частный случай широкого класса задач, для решения которых оказались применимы оба пути, проложенные античными математиками.

Возврат из прерывания 2.12.