Построение точечного прогноза

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

• 1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б₁ =0,3; б₂=0,6; б₃=0,3.
• 2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
• 3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁, = l, 10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ =0,32;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

• 4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т. е. на 1 год.
• 5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Таблица № 1 — Исходные данные.

Квартал.	Вариант 1.

Решение:

Исходные данные:

t.

Y (t).

1. Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса

Линейная модель имеет вид:

Yp = a (0) + b (0)*t.

Согласно методу наименьших квадратов:

; ;

Все расчеты произведем в таблице адаптивная мультипликативная экспонциальная скользящая.

Уравнение с учетом найденных коэффициентов имеет вид:

Yp = 49,6 + 0,4*t.

Из этого уравнения находим расчетные значения Yp (t) и сопоставляем их с фактическими значениями:

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности кварталов F (-3), F (-2), F (-1) и F (0) Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F (1), F (2), F (3), F (4) и других параметров модели Хольта — Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp (t), a (t), b (t), F (T) для t=1 значения параметров сглаживания б1=0,3, б2=0,6, б3=0,3.

Промежуточные значения для оценки адекватности модели.

.

Е_отн<5% - модель значима с высокой степенью точности.

• 3. Проверка адекватности модели
• а) проверка случайности уровней:

Гипотеза подтверждается, если, где.

.

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. Тогда рассчитав, получим.

q= int (2/3*(16−2) -2*) = 6.

Из таблицы Р = 10, т. е. можно заключить, что гипотеза выполнена.

• б) проверка независимостей уровня ряда остатков (отсутствия автокорреляции)
• — по критерию Дарбина — Уотсона: табличные значения d1 = 1,08, d2 = 1,36.

неоднозначный ответ.

— по первому коэффициенту корреляции:

Критический уровень для N<15 (табличное значение) r_кр = 0,32,.

т.к. |r (1)|? r_кр — сильная автокорреляция в) Расчет нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию с критическими уровнями 3 — 4,21.

где.

т.е. можно заключить, что распределение нормальное.

г) Значимость коэффициентов регрессии а_j оценим с помощью t-критерия Стьюдента:

Табличное значение t для вероятности 95% и v1=n-k-1=14: tтабл=2,15.

Т.к. t_расч>t_табл, то параметр b статистически значим.

4. Построение точечного прогноза

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принят равным пяти дням. Рассчитать:

• — экспонциальную скользящую среднюю;
• — момент;
• — скорость изменения цен;
• — индекс относительной силы;
• — %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица № 2 — Исходные данные.

Вариант 1.
Дни.	Цены.
макс.	мин.	закр.

Решение:

Введем исходные данные в ячейки В2: Е13.

Расчет проведем в таблице.

Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА) определяется по формуле:

EMA_t = C_t*K + EMA_t-1*(1- K) ,.

где C_t — цена закрытия i-го дня (i = (tn +1),…, t);

n — интервал сглаживания (n = 5).

K = 2/(n+1) = 2/(5+1)= 0,33,.

запишем это значение в ячейку D$ 19.

ЕМА₅ = (С₁+С₂+С₃+С₄+С₅)/n, в ячейку С33 введем формулу: ==СУММ (B29:B33)/5.

ЕМА₆ =С₆*K+EMA₅*(1-K), в ячейку С34 введем формулу: =B34*D$ 19+C33*(1-D$ 19), аналогично заполним ячейки С35: С38 формулами.

Момент (МОМ): МОМ_t = C_t — C_t-n

Положительное значение МОМ свидетельствует о росте цен.

Движение графика вверх (7−9 день) в зону положительных значений является относительным сигналом к покупке, а движение графика вниз (9 — 10 день) в зону отрицательных значений является относительным сигналом к продаже.

Скорость изменения цен (ROC):

ROC_t = C_t/C_t-n *100%.

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Нахождения индекса выше линии 100 и положительная динамика в 7−9 дни говорит о сигнале к покупке. На 7−8 день скорость изменения цен была максимальной.

Индекс относительной силы (RSI):

RSI = 100 — 100/(1+AU/AD),.

где AU — сумма приростов конечных цен за n дней;

AD — сумма убыли конечных цен за n дней.

Рассчитаем сумму повышений:

Рассчитаем сумма понижений:

Индекс силы рассчитаем в ячейках J34: J38. В ячейку J34 введем формулу =100−100/(1+H34/I34), в остальных проделаем те же операции.

Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25−20, а перекупленности — выше 75−80. Сигналом служит разворот RSI в указанных зонах и выход из нее. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вошел в зону, ограниченной линией 80%, на 6−10 день. Это значит, что цены поднялись слишком высоко, надо ждать их падения и подготовится к продаже. Сигналом к продаже послужит момент выхода графика из зоны перепроданности.

Стохастические линии

Смысл индексов %К и %R состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной цена, а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %К проверяют куда больше тяготеет цена закрытия.

Значение индекса текущего дня:

%К_t =100(C_t — L₅)/(H₅-L₅).

%R = (Ct-L5)/ (H5-L5)*100%.

%.

L₅, H₅ — соответственно минимальная и максимальная цены за предшествующие 5 дней;

C_t — цена закрытия текущего дня.

Критические значения % К практически во все дни анализа (зона перекупленности) свидетелствует о том, что можно ожидать скорого разворота тренда, т. е. падения цен. Как видно из графика и из таблицы если цена закрытия ближе к максимальной цене, то наблюдается рост цен, в противном случае, падение.