Гибридные схемы Р. П. Федоренко

До сих пор мы рассматривали разностные схемы, коэффициенты которых не зависели от найденного численного решения. При этом для линейного уравнения переноса мы получали линейные схемы — такие, в которых разностный оператор был линеен. Существует большой класс разностных схем, в которых в соответствие линейному дифференциальному оператору ставится некий нелинейный оператор, а коэффициенты схемы даже для простейшего линейного уравнения переноса становятся зависящими от решения.

Первыми среди таких схем возникли так называемые гибридные схемы, предложенные Р. П. Федоренко в 1962 г. Идею построения гибридных схем¹ рассмотрим на традиционном примере использования в качестве базисной схемы «явный левый уголок»:

Для удобства скорость переноса принята за единицу, что не является принципиальным. Рассмотрим главный член погрешности аппроксимации. Как обычно, подставляем в разностную задачу сеточную проекцию точного решения (след функции). Разложение проекции точного решения в ряд Тейлора дает.

Поскольку в предположении достаточной гладкости решения исходного уравнения переноса выполнено u_tt = и_хх, то возможно повысить порядок аппроксимации. Для этого в главном члене погрешности аппроксимации заменим вторую производную по пространству на вторую разность на сетке. Тогда схема может быть представлена в виде.

Очевидно, что последняя разностная схема аппроксимирует уравнение переноса уже со вторым порядком по обеим переменным: t их.

Аналогичным образом, используя следствия самого уравнения переноса {дифференциальные продолжения), можно получить и схему 3-го порядка аппроксимации:

См.: Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику.

Введем разностный «анализатор гладкости» численного решения, сравнивая конечные разности 1-го и 2-го порядков:

Представим разностную схему в виде.

В областях с большим градиентом численного решения у = 0 и расчет ведется по схеме 1-го порядка точности, в области же гладкого решения у = 1 и расчет ведется по схеме 2-го порядка (при X = 0 имеем схему 1-го, при X = °о — 2-го порядка точности). Аналогичный анализатор гладкости можно ввести и для схемы 3-го порядка аппроксимации.