О соотношении неопределенностей для энергии и времени для однофотонных состояний с гауссовским импульсным распределением

где; согласно предложенной в [4] «дисперсионной» интерпретации, неопределенности энергии и времени имеют смысл среднеквадратичных отклонений, каждое из которых определяется как квадратный корень из дисперсии соответствующей величины.

В качестве иллюстрации в [2−4; 8; 15] рассматривался импульс лазерного излучения (в окрестности некоторой заданной точки пространства), который моделировался путем выбора напряженности электрического поля в виде квантовый энергия фотон.

(2).

где: — вещественный вектор; - центральная циклическая частота излучения, — параметр. Плотность потока энергии (в гауссовой системе) электромагнитного излучения вблизи некоторой заданной точки пространства в момент времени полагалась равной.

(3).

и затем в рассмотрение вводилась плотность вероятности момента времени прохождения фотона через эту точку:

(4).

По аналогии с (4), в [11] в рамках квантовой механики выбиралась функция:

(5).

где: — проекция вектора плотности потока вероятности для свободной частицы, описываемой трехмерным волновым пакетом, распространяющимся в направлении оси симметрии пакета .

В [11] расчеты для частицы, обладающей массой, показали, что соотношение (1)выполняется, если точка наблюдения находится (на оси) достаточно далеко от первоначальной области локализации волнового пакета. Это связано с тем, что если точка находится внутри его первоначальной области, то существует вероятность того, что частица, «родившись» при где-то за точкой (например, правее ее, если пакет движется вправо), не попадет в эту точку, хотя знаменатель в (5) содержит вклады «обязательного» попадания в нее (в какой-либо момент времени).

Аналогичной ситуация является и для фотона, хотя в [11] это не подчеркивалось, и в силу ограниченности объема статьи не приводились пояснения вычислений. Здесь мы остановимся на этом вопросе подробнее.

В ряде работ [1; 6; 7; 9; 13; 18] построена квантовая механика фотона, результатом которой является волновая функция фотона в координатном представлении.

(6).

где: верхний и нижний знаки относятся к фотону с положительной и отрицательной энергией, — волновой вектор; безразмерные ортонормированные плоские монохроматические циркулярно поляризованные волны, отвечающие соответствующей спиральности, имеют вид.

. (7).

В [2; 5; 10; 16; 19] при моделировании волнового пакета (6) фотона, соответствующего коротко импульсному лазерному излучению, комплексные векторы поляризации были выбраны так, что.

;,; (8).

;, , (9).

где: углы и определяют ориентацию вектора в сферической системе координат, а векторы, записаны в декартовой системе координат. При моделировании коэффициенты, определяющие импульсное распределение фотона в состоянии (1), задаются в гауссовой форме.

. (10).

В [2; 5; 10; 16; 19] устанавливается характер расплывания пакета (6) путем численного расчета наиболее значимой в данном случае проекции напряженности. Его начальная «шарообразная» форма с течением времени трансформируется в некую «конусообразную», напоминая картину излучения Вавилова-Черенкова, вследствие того, что движение центра пакета вдоль его оси симметрии z опережает движение его периферийных частей. Большинство аналитически полученных параметров были вычислены с помощью импульсного представления, в котором, волновая функция фотона, соответствующая функции (6), имеет вид.

. (11).

В частности, среднее значение энергии фотона определяется как.

(12).

где: вместо плотности импульсного распределения, интегрируя по углам и, можно перейти к плотности энергетического распределения.

(13).

Используя (12), (13), получаем [11] средние значения.

(14).

. (15).

Тогда, для проверки соотношения (1) находим неопределенность энергии фотона в состоянии (6) как квадратный корень из ее дисперсии:

. (16).

Функция (5) вычислялась численно с применением формулы для плотности потока вероятности [1; 5; 6; 19].

(17).

где:

, (18).

— оператор спина фотона в векторном представлении.

На рис. 1 представлены результаты численного расчета отношения как функции параметра (характеризующего среднюю энергию фотона и область его первоначальной локализации) в разных точках на оси, начиная с — наиболее вероятной точки обнаружения фотона в момент (кривая 1) и заканчивая точкой (кривая 8), где — неопределенность координаты при. При значении, соответствующем длительности лазерного импульса 80 фс с центральной длиной волны 10 мкм, было получено .

Из рис. 1 видно, что соотношение (1) начинает выполняться для кривой 7 — то есть для точки с координатой, хотя при оно также выполняется и для кривой 6 — для точки с координатой. Чем ближе точка наблюдения к центру волнового пакета в начальный момент его «зарождения», тем в большей степени соотношение (1) нарушается, в соответствии со сказанным выше относительно подобной ситуации с соотношением (1) для частиц, имеющих массу.

Рисунок 1. Зависимость отношения от параметра для разных координат zточки наблюдения: 1 -; 2 -; 3 -; 4 -;5 -; 6 —; 7 -; 8 ;

Таким образом, для исследуемого волнового пакета фотона и для описанной выше версии дисперсионной интерпретации соотношения (1), при корректной его проверке, можно сделать вывод, что это соотношение выполняется. Причем стремится (сверху) к («чисто квантовому пределу») уже при, том есть при достаточно высокой средней энергии фотона и/или его большой первоначальной области локализации.

В заключении отметим, что существуют и другие [14; 17] дисперсионные интерпретации соотношения (1), вызывающие интерес для анализа с помощью рассматриваемого волнового пакета фотона. Однако эта тема — для дальнейших исследований, результаты которых планируются к публикации в будущем.

• 1. Давыдов А. П. Волновая функция фотона в координатном представлении // Вестник МаГУ: Периодический научный журнал. Вып. 5, Естественные науки. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. ун-та, 2004. — С. 235−243.
• 2. Давыдов А. П. Волновая функция фотона в координатном представлении: монография. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г. И. Носова, 2015. — 180 с.
• 3. Давыдов А. П. Дисперсионная интерпретация соотношения неопределенностей для энергии и времени и короткоимпульсное лазерное излучение в квазиклассическом подходе. — Инновации в науке / Сб. ст. по материалам XXXII междунар. науч.-практ. конф. № 4 (29) Новосибирск: Изд. «СибАК», 2014. — С. 6−14.
• 4. Давыдов А. П. Доказательство соотношения неопределенностей для энергии и времени в рамках квазиклассического подхода описания электромагнитных сигналов и излучения // Современные проблемы науки и образования: материалы XLVII внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ. — Магнитогорск: МаГУ, 2009. — С. 358−360.
• 5. Давыдов А. П., Злыднева Т. П. Однофотонный подход к моделированию короткоимпульсного лазерного излучения // Вестник науки и образования Северо-Запада России: электронный журнал. — 2015. — Т. 1. — № 4. — URL: http://vestnik-nauki.ru (Дата обращения: 03.04.2016).
• 6. Давыдов А. П. Квантовая механика фотона: волновая функция в координатном представлении // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2015. — Т. 20. — № 5. — С. 43−61.
• 7. Давыдов А. П. Квантовая механика фотона // НАУКА И ШКОЛА: тезисы докладов XXXIII научной конференции преподавателей МГПИ / под ред. доц. З. М. Уметбаева. Магнитогорск: Изд-во МГПИ, 1995. — С. 206−207.
• 8. Давыдов А. П. Курс лекций по квантовой механике. Математический аппарат квантовой механики: учеб. пособие / А. П. Давыдов. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г. И. Носова, 2014. — 188 с.
• 9. Давыдов А. П. Линеаризация волновых уравнений для потенциалов свободного электромагнитного поля с целью его квантовомеханического описания // Проблемы физ.-мат. образования в педагогич. вузах России на соврем. этапе: Тез. докл. межвуз. науч.-практич. конф. — Магнитогорск: МГПИ, 1996. — С. 116−120.
• 10. Давыдов А. П. Моделирование распространения в трехмерном пространстве волнового пакета фотона // Актуальные проблемы современной науки, техники и образования: материалы 73-й межд. научно-техн. конф. — Магнитогорск: Изд-во МГТУ им. Г. И. Носова, 2015. — Т. 3. — С. 133−137.
• 11. Давыдов А. П. Об одной реализации дисперсионной интерпретации соотношения неопределенностей для энергии и времени // Физико-математические науки и образование: сборник трудов участников Всеросс. науч.-практич. конфер. / под общ. ред.: В. П. Семенова, В. А. Кузнецова, Т. П. Злыдневой. Магнитогорск: МаГУ, 2012. — С. 107−114.
• 12. Давыдов А. П. Общее доказательство соотношения неопределенностей для энергии и времени в дисперсионной трактовке в квазиклассическом и квантовом случаях / А. П. Давыдов // Современные проблемы науки и образования: материалы XLVIII внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ. — Магнитогорск: МаГУ, 2010. — С. 323−325.
• 13. Давыдов А. П. О волновой функции фотона в координатном представлении в терминах электромагнитных потенциалов // Современные проблемы науки и образования: материалы L внутривузовcкой науч. конф. преподавателей МаГУ. Магнитогорск: МаГУ, 2012. — С. 228−229.
• 14. Давыдов А. П. Оператор энергии и соотношение неопределенностей для энергии и времени в квантовой механике // Инновации в науке / Cб. ст. по материалам XLIII междунар. науч.-практ. конф. № 3 (40). Новосибирск: Изд. «СибАК», 2015. — С. 7−19.
• 15. Давыдов А. П. О соотношении неопределенностей для энергии и времени при квазиклассическом описании электромагнитного излучения // Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Том 1. — Материалы VII Международного симпозиума. — М.: РАН, 2012. — С. 80−88.
• 16. Давыдов А. П. Эволюция в пространстве и во времени волнового пакета фотона фемтосекундного излучения с точки зрения квантовой механики // Современные проблемы науки и образования: тез. докл. XLIII внутривуз. науч. конф. МаГУ. — Магнитогорск: Изд-во МаГУ, 2005. — С. 269−270.
• 17. Ольховский В. С. О времени как квантовой наблюдаемой, канонически сопряженной энергии // УФН. — 2011. — Т. 181. — № 8. — С. 859−866.
• 18. Bialynicki-Birula I. On the Wave Function of the Photon // Acta Phys. Pol. A. -1994. — Vol. 86. — P. 97−116.
• 19. Davydov A., Zlydneva T. Modeling of short-pulse laser radiation in terms of photon wave function in coordinate representation // в печати.