Нормальное и связанные с ним распределения

Построение статистических моделей чаще всего основывается на предположении о нормальности используемых распределений.

Непрерывная случайная величина $ называется нормально распределенной случайной величиной, т. е. распределенной по нормальному, или гауссовому, закону с параметрами р и о² (записывается с, ~ N ([i, а²)), если функция плотности /(ж) случайной величины 2; имеет вид.

гдеоо < ж < +оо, -оо < р 0.

Г рафик функции плотности нормально распределенной случайной величины представлен на рис. 1.10 в двух вариантах: р = 5, о = 1 и р = 10, о = 3. Заметим, что максимальное значение /(ж) достигается при ) и график f (x)

симметричен относительно прямой, проходящей через точку р параллельно оси ординат.

При практическом использовании нормального распределения оказывается полезным следующее его свойство: площадь графика под функцией плотности /(ж) нормального распределения над интервалом (р — ко, р + ко) не зависит от р и о и равна приблизительно 0,68 (А; = 1); 0,95 (к = 1,96); 0,99 (к = 2,58),.

Рис. 1.10. Функция плотности нормального распределения: / — р = 5, о = 1; 2 — р = 10, о = 3.

т. е. вероятности нормально распределенной случайной величины принять значение в интервале (р — /со, р + ко) равны.

Если? ~ N (p, о²), то можно доказать, что случайная величина, а + &? ~ N (a + b[i, 6²а²), где а и b — константы. В частности, случайная величина.

Это распределение называется стандартным нормальным распределением. Функция плотности стандартного нормального распределения имеет вид.

Многие наблюдаемые в реальных экспериментах случайные величины подчиняются приблизительно нормальному закону распределения. По этой причине значительная часть классической статистической теории предполагает нормальность распределения рассматриваемой случайной величины.

Теоретическое основание для этого предположения дает центральная предельная теорема, согласно которой распределение суммы независимых случайных величин (точное определение независимости случайных величин будет дано в 1.3), ни одна из которых не доминирует, при увеличении числа слагаемых сходится к нормальному распределению (более точную формулировку теоремы можно найти, например, в книге |В. Н. Тутубалин, 1992]). В частности, условия центральной предельной теоремы выполняются, если слагаемые одинаково распределены. Например, распределение биномиальной случайной величины, которую можно рассматривать как сумму п независимых случайных величин, распределенных по Бернулли, при увеличении п будет приближаться к нормальному распределению с параметрами пр и пр (1 — р) (теорема Муавра — Лапласа).

В приложениях статистики часто используют связанные с нормальным распределения: распределение х² (хи-квадрат), распределение Стьюдента (часто применяют обозначение ^распределение) и F-pаспределение. Плотности этих распределений выражаются через стандартные математические функции в виде некоторых (довольно громозких) формул, которые и служат определением распределений. Здесь приведем «конструктивное» определение, раскрывающее возможности использования этих распределений в математической статистике.

Предположим, что каждая из п независимых случайных величин 51,5'2 т ?? ? Лп (определение независимости случайных величин см. в 1.3) распределена нормально с параметрами 0 и 1 ($* ~ N (0,1)). Тогда случайная величина.

имеет распределение у² (хи-квадрат) с п степенями свободы (записывается т) Хп);

График функции плотности распределения х² изображен на рис. 1.11 в двух вариантах: п = 5 и п = 10.

Предположим теперь, что каждая из п + 1 независимых случайных величин $оДь$ 2) • • •, 5п распределена нормально с параметрами 0 и о² (5, ~ Л^(0, о²)). Тогда случайная величина.

имеет распределение Стьюдента с п степенями свободы (записывается Г) ~ t_n).

График функции плотности^{распределения} приведен на рис. 1.12 в двух вариантах: п = 2 и п = 10. Заметим, что мак;

Рис. 1.11. Функция плотности X²-распределения:

Рис. 1.12. Функция плотности ^-распределения:

симальное значение плотности распределения достигается при х = 0 и график симметричен относительно оси ординат.

Предположим теперь, что каждая из п + т независимых случайных величин, $ 2″ …, 1,. •., ?n+m распределена нормально с параметрами 0 и а², т. е. ~ N (0, а²). Тогда случайная величина

Рис. 1.13. Функция плотности F-распределения: / — п = 5, т = 5; 2 — п = 50, т = 50.

имеет F-распределение спит степенями свободы (записывается г) ~ F",_TO).

Г рафик функции плотности F-распределения представлен на рис. 1.13 в двух вариантах: п = 5, т = 5 и п = 50, т = 50.

Иногда возникает ситуация, когда рассматриваемую случайную величину удается с помощью несложных изменений преобразовать в нормально распределенную случайную величину. Например, в биологических исследованиях часто возникает логнормальное распределение.

Непрерывная случайная величина? называется распределенной по логнормальному закону с параметрами р и а², если случайная величина т) = In 5 распределена нормально.

(т)~ЛГ (р, о²)).