Фундаментальная матрица решений линейной однородной системы с постоянной матрицей в виде матричной экспоненты

При решении линейной однородной системы с постоянными коэффициентами огромную роль будет играть ряд.

Теорема 3.10. Матричная экспонента е^{, л} является фундаментальной системой решений линейной однородной системы (3.4) с постоянной матрицей.

Доказательство. Во-первых, заметим, что элементами матрицы е^{, Л} являются квазиполиномы, т. е. непрерывно-дифференцируемые функции. Во-вторых, проверим, что e^tA — матрица решений системы (3.4), т. е. каждый ее столбец является решением. Вычислим производную от e^tA:

Абсолютно сходящиеся непрерывно-дифференцируемые ряды можно почленно дифференцировать. Кроме того, в тех случаях, когда перемножение матриц коммутативно, постоянный сомножитель можно вынести за знак предела:

Рассмотрим ряд, стоящий в числителе дроби в последнем выражении:

Тогда

d g (t+Al)A _ gtA

Таким образом, — e^tA = lim-= Ae^tA, т. е., подставляя и = e^tA

dt л/->о At

в систему (3.4), получаем тождество. Значит, e^tA — матрица решений системы (3.4).

Заметим, что матрица решений е^{, А} при t = 0 не вырождена, потому что e^{, A}_t=o = E. Следовательно, е'^А — фундаментальная матрица решений системы (3.4).

Замечание 3.4. Поскольку е^1А — фундаментальная матрица решений системы (3.4), a S — невырожденная матрица, то e^tAS — также фундаментальная матрица решений системы (3.4). Но e^tAS = Se'-f, поэтому самый простой способ решить систему (3.4) — это привести матрицу А к жордановой форме и выписать фундаментальную матрицу решений Se’J.

Решим систему

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

а'.

Для простого корня X, = 2 находим собственный вектор (3, решая систему урав;

Л, нении

• (коэффициенты этой системы равны элементам детерминанта (3.10) при Х = 2).
• 11аходим

^гг

Значит, вектор -2 — собственный и

— частное решение системы (3.9).

Для кратного корня X = 1 сначала найдем собственный вектор, решая систему уравнений

(коэффициенты этой системы равны элементам детерминанта (3.10) при X = 1). Находим, а = 0, -(3 = у. Значит, вектор

— собственный. Найдем присоединенный вектор, решая систему уравнений.

Находим, а = -1, (3 = 1 — у. Значит, вектор 1 — присоединенный для собственного.

I °,

вектора (3.11). Таким образом, жорданова форма матрицы системы (3.9) имеет вид а матрица перехода к жорданову базису Тогда

Следовательно, фундаментальная матрица решений системы Общее решение системы (3.9) имеет вид.

Решим систему

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

Для корня Л = 3 + 2 г найдем собственный вектор, , решая систему.

к^ь)

Можно взять а = 1, b = 1 — 2 г. Имеем частное решение 46

Так как данная система — с вещественными коэффициентами, то решение, соответствующее корню к = 3 — 2/, является комплексно сопряженным с найденным решением.

Жорданова форма матрицы исходной системы имеет диагональный вид:

матрица перехода к жорданову базису ПОЭТОМУ.

общее решение имеет вид.

где C_VC₂ — комплексные числа.

Чтобы получить вещественное решение, надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решения (3.12). Так как.

то вещественная фундаментальная система решений имеет вид.

Общее вещественное решение выражается через два найденных линейно независимых решения: