Максимизация потребляемой мощности

В инженерной практике часто возникает необходимость обеспечить максимум активной мощности, передаваемой от источника сигнала в нагрузку.

В качестве примеров можно выделить задачу максимизации мощности на валу электродвигателя при питании его от силовой сети. Аналогичная проблема возникает при передаче высокочастотной мощности от выходного усилителя радиопередатчика в антенну для излучения электромагнитных волн (высокочастотная мощность стоит очень дорого как с экономической, так и с технической точки зрения).

Схема электрической цепи показана на рис. 5.6. В цепь включен реальный источник напряжения с комплексной амплитудой ЭДС и внутренним комплексным сопротивлением, к которому подключена нагрузка с комплексным сопротивлением. Необходимо подобрать такое сопротивление нагрузки, при котором она потребляла бы от источника максимальную мощность.

Рис. 5.6.

Комплексная амплитуда тока в цепи равна.

.

тогда для амплитуды тока получим.

(5.38).

в выражение для потребляемой мощности примет вид.

(5.39).

так как мощность потребляется только в активном сопротивлении .

Необходимо определить максимум (5.39) по двум независимым переменным — активному и реактивному сопротивлениям нагрузки. Как видно, величина присутствует только в знаменателе дроби и сумма возводится в квадрат. Минимум знаменателя будет иметь место при условии.

или. (5.40).

Таким образом, реактивное сопротивление нагрузки должно быть по модулю равно реактивному сопротивлению источника и иметь противоположный характер (если у источника сопротивление индуктивно, то у нагрузки оно должно быть емкостным и наоборот). В результате получим.

. (5.41).

Максимум (5.41) по можно найти, вычислив производную этой функции и приравняв ее нулю. В результате получим (проделайте это самостоятельно) условия, при которых потребляемая нагрузкой мощность максимальна,.

(5.42).

и соответствующую величину мощности.

. (5.43).

Зависимости мощности в нагрузке от при (сплошная линия) и Ом (пунктирная линия) показаны на рис. 5.7 при Ом и В.

Как видно, при отклонении от оптимальных условий (5.42) потребляемая нагрузкой мощность замет, но снижается.

Рис. 5.7.

Рассмотрим коэффициент полезного действия (КПД) — отношение мощности в нагрузке к мощности, потребляемой от источника сигнала, при условии (5.40) равной.

. (5.44).

тогда КПД равен.

. (5.45).

Зависимость КПД от активной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.8. Как видно, при условии передачи максимума мощности в нагрузку КПД равен 0,5 (50%), то есть половина мощности источника потребляется его же внутренним сопротивлением (происходит нагрев источника). При повышении КПД увеличивается, однако при этом снижается мощность, передаваемая в нагрузку.

Рис. 5.8.