Критерий Колмогорова. 
Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных

Мера D_n отклонения эмпирической функции распределения F*(х) от теоретической функции распределения F (x) определяется следующим образом:

Очевидно, D_n — сл. в., и нас интересует ее предельное распределение при п —*• °о, вычисленное в предложении, что гипотеза справедлива. Колмогоров показал, что если F (x) непрерывна, то при п

С помощью формулы суммирования Пуассона функцию (1.23) можно представить в виде.

которым пользуются при х < 1, в противном случае применяется (1.23). Если а — заданный уровень значимости, то на основании теоремы.

Этот ряд сходится очень быстро, поэтому в качестве первого приближения часто можно ограничиться только первым его членом:

Схема применения критерия Колмогорова к проверке гипотезы состоит в следующем:

• 1. По уровню значимости находим d_a, чтобы выполнялось (1.25).
• 2. По значениям выборки строим функцию F*(x) и вычисляем величину D"{F*, F}.
• 3. а) если величина D_n > d_a, это означает, что событие с вероятностью а произошло (т.е. событие, практически считавшееся невозможным). Таким образом, если D_n > d_a, то предположение о справедливости выдвинутой гипотезы опровергается опытом;
• б) если величина D" < d_a, это означает, что гипотеза не противоречит опытным данным и может быть принята. Необходимо обратить внимание на следующее.

Замечание 1. Отвержение гипотезы не означает ее логического опровержения, ровно как и подтверждение гипотезы в случае D_n < d_u не означает логического доказательства ее справедливости. Действительно, событие D_n > d_n может осуществиться и в случае справедливости гипотезы, но если достаточно мало, то на практике этим допустимо пренебречь. Событие D_n < d_a может произойти и в случае, если гипотеза неверна, поэтому ее необходимо проверить с помощью различных критериев, прежде чем считать подтвержденной опытными данными.

Замечание 2. Статистический смысл а. Допустим, что производится последовательность п серий однородных испытаний, в которых гипотеза Н₀ предполагалась справедливой. Если р" — число тех из них, в которых она была отклонена с помощью описанного выше критерия, то — - ^р^_ > а.

Замечание 3. Критерий Колмогорова используют на практике, когда размер выборки очень большой п > 40—50. Отметим также, что с вероятностью 1 — а функция распределения F (x) заключена в полосе, границы которой задаются уравнениями/ = F*(x) + d_a, y = F*(x) — d_a, это сразу следует из (1.25).

Критерий Мизеса

Согласно этому критерию мерой отклонения теоретической функции распределения F (x) и эмпирической F*(x) служит.

1 1 «Г (2к —.

можно показать, что со² =-, н—Z F х_т— .

12п² пм L I ⁽⁾ 2п )_

Выражение точного распределения to² очень сложное, но при п > 40 оно близко к некоторому предельному распределению, имеющему характеристическую функцию.

Схема применения критерия Мизеса аналогична схеме применения критерия Колмогорова.