Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов

В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом будем обозначать; символом — соответственно,; тогда можно записать.

, ,.

подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто:

— интеграл сходится;

— интеграл расходится.

Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной:

;

при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл:

.

Пусть.

;

если, то; если то ;

(это уже собственный интеграл) =.

.

Признаки сравнения Абеляра и Дирихле для неотрицательных функций

В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении (или), то интеграл сходится, в противном случае — расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b]и при удовлетворяют неравенствам. Тогда, если сходится интеграл, то сходится интеграл; если расходится интеграл, то расходится интеграл (эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).

Доказательство: если, , то функции.

.

— монотонно возрастающие функции верхнего предела b (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть сходится. G(b) ограничена.

.

F(b) ограничена, т. е. сходится. Пусть расходится F(b) неограничена G(b) неограничена, т. е. расходится.

Примеры. Исследовать на сходимость интегралы:

1.. Функция не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При имеет место; интеграл.

сходится сходится.

2.. При.

;

интеграл расходится расходится расходится.

В качестве «стандартного» интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа, часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится, если p > 1, и расходится, если :

Примеры:

1.. На всём промежутке интегрирования.

;

интеграл сходится (p = 7 > 1), поэтому исходный интеграл сходится;

2.. Здесь.

,.

расходится (p = 2/3 < 1), поэтому исходный интеграл расходится;

3.. Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью x невозможно, так как числитель — неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При ln x — бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью x, поэтому.

ограниченная функция, поэтому.

.

интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;

4.. На всём промежутке интегрирования.

(отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл сходится, поэтому исходный интеграл сходится.

Теперь рассмотрим. Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших x выполняются неравенства.

.

и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения — предельный.

Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a, b]и пусть существует конечный.

.

Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Док-во. Так как функции неотрицательны, то K > 0. По определению предела для существует такое значение x₀, что при x > x₀ выполняется:

.

Дальше рассуждения простые: пусть a₁ = min{a, x₀}; если сходится, то сходится, тогда, по теореме сравнения, сходится.

сходится сходится. Если расходится, то расходится, тогда, по теореме сравнения, расходится.

расходится расходится.

Сравнение интеграла со «стандартным» интегралом в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при неотрицательная функция f(x) — бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с, то сходится; если f(x) не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится.

Примеры:

1.. При.

эквивалентна функции, поэтому интеграл сходится.

2.. При.

эквивалентна функции, поэтому интеграл расходится.

3.. При.

эквивалентна функции, поэтому интеграл расходится.

4. .

При.

эквивалентна функции, поэтому интеграл расходится.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку.

В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции f(x) к исследованию интеграла от положительной функции | f(x)|? Можно показать, что если сходится интеграл, то обязательно сходится интеграл (идея доказательства: разобьем отрезок X_{b = [a, b]на два множества,}

и.

.

т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму — в которых функция отрицательна. Тогда.

.

В последней сумме оба слагаемые — монотонно возрастающие с ростом b, ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при. Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма). Обратное утверждение неверно, т. е. при сходимости интеграла интеграл может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости.

Определение: Если сходится интеграл, то интеграл называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл, а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся условно.

Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:

1. .

;

интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.

2. .

.

первый множитель,, стремится к нулю при, следовательно, ограничен:

.

интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно. Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется.

Пример: исследовать на сходимость интеграл:

.

1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям:

.

Для последнего интеграла, т. е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.

2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т. е. что расходится. Так как.

.

.

для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при, для предыдущего — нет, следовательно, расходится. несобственный интеграл неограниченный теорема Вывод — исходный интеграл сходится условно.

Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:

Признак сходимости Абеляра для несобственного интеграла:

• 1. Пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке, причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т. е. интеграл сходится (условно или абсолютно);
• 2. g(x) монотонна и ограничена: .

Тогда интеграл сходится.

Признак сходимости Дирихле для несобственного интеграла:

1. Пусть функция f (x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b):

;

2. g (x) монотонно стремится к нулю при: .

Тогда интеграл сходится.

Применим, например, признак Дирихле к.

.

f(x) = cos x, g(x) = 1/x,.

условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.