Модель равновесной цены опциона на основе стоимости эквивалентного портфеля

Рассмотрим особенности определения равновесной рыночной цены опциона на основе однопериодной биномиальной модели. Цена опциона на покупку акций не может быть отрицательной. Она будет положительной до тех пор, пока существует отличная от нуля вероятность того, что цена обыкновенных акций на рынке в момент исполнения опциона будет превышать цену исполнения, зафиксированную в контракте. На стоимость опционов также могут оказывать влияние и другие факторы, например дивиденды, которые не могут быть получены потому, что вместо акций купили опцион на покупку и дивиденды получит их владелец на момент выплаты.

Теоретическая стоимость опциона — это тот доход, который можно было бы получить, если исполнить опцион сразу. Если рыночная стоимость обыкновенной акции больше, чем цена исполнения опциона на покупку, то разница между ценой акции и ценой исполнения без учета тех расходов, которые связаны с заключением контракта, и есть теоретическая стоимость опциона. Если рыночная стоимость акции ниже цены исполнения, то теоретическая стоимость опциона равна нулю, поскольку исполнять опцион попросту невыгодно.

Введем следующие обозначения: C_min — минимальная (теоретическая) стоимость опциона; р — текущая рыночная стоимость обыкновенной акции; p_k — цена исполнения по опциону.

Тогда теоретическая стоимость опциона будет равна р — р_к, если р > р_к, и нулю, если р < р_к. Теоретическая стоимость не является рыночной ценой опциона, но она устанавливает нижнюю границу стоимости опциона, если исполнить его сразу. Рыночная стоимость опциона будет либо равна теоретической, либо больше ее. Это легко увидеть на примере американского опциона, который можно исполнить в любой момент в течение указанного срока. Если текущая цена акции составляет 200 руб., а цена исполнения опциона — 180 руб., то опцион не может продаваться дешевле, чем за 20 руб. Если опцион продается за 10 руб., то можно купить его, исполнить (купить акцию за 180 руб.), продать акцию за 200 руб. и заработать на этом 10 руб. Подобный доход возникает в том случае, если цена опциона меньше разности текущей цены и цены исполнения р — р_к, которая совпадает с минимальной стоимостью опциона C_min. С другой стороны, абсолютный максимум стоимости опциона в любой момент — это рыночная стоимость акции в этот момент. Опцион на покупку позволяет его владельцу купить акцию по цене исполнения, но саму акцию тоже всегда можно купить на открытом рынке. Это максимальная, или предельная, цена опциона С_шах. Если обыкновенную акцию можно купить на рынке за 200 руб., то инвестор не будет платить более 200 руб. за право купить эту же акцию в будущем периоде при любой положительной цене исполнения этого опциона.

Для любого текущего уровня цен акций равновесная рыночная стоимость опциона С попадет в интервал между минимальной (теоретической) и максимальной стоимостью опциона и может колебаться между этими границами. Она зависит от цены исполнения, срока погашения опциона и распределения будущих курсов или доходов по акциям. Чем продолжительнее срок исполнения, тем выше стоимость опциона.

Ради простоты будем предполагать, что опцион на покупку акции дает владельцу право приобрести одну обыкновенную акцию. Хотя рыночные опционы заключаются на установленное количество базового актива, в том числе на определенное число акций, это предположение дает возможность упростить математические выкладки и проиллюстрировать экономический смысл полученных результатов.

При построении модели равновесной рыночной цены опциона на покупку акции со сроком исполнения один период будем считать, что цена акции в следующем периоде может принимать только два значения (простая биномиальная модель цены опционов)^[1]. Практически это означает выделение двух будущих состояний экономики. Определим доходы по опциону на покупку акции в каждом из них.

Допустим, в следующем периоде акция, которая сейчас продается по текущей цене р, будет продаваться при наступлении одного состояния экономики, характеризующегося благоприятным уровнем рыночной конъюнктуры, по цене ар, а при наступлении второго состояния, характеризующегося менее благоприятным уровнем этой конъюнктуры, по цене Ьр, причем ар > Ьр.

Величины a, b — эго темпы роста курса акции при наступлении соответственно первого или второго состояния экономики, а > Ь. Часто рассматривают случай, когда b < 1 < а. Это означает, что в одном будущем состоянии экономики предполагается рост цены, а во втором — ее сокращение.

Предположим, что в настоящий период имеется возможность выпустить или купить облигации на сумму, которую обозначим через г/, при условии ее погашения в следующем периоде под ставку процента, которую обозначим через г. Риск облигаций равен нулю. При этом должно выполняться следующее соотношение:

Если бы темпы роста в обоих состояниях экономики были больше 1 + г, то покупка акций принесла бы более высокий доход, чем при вложении капитала в облигации. Никто не захотел бы покупать облигации. Если бы 1 + г была больше указанных темпов роста цен, то инвестор, вложив свой капитал в облигации, с гарантией получил бы больший доход, чем от инвестиций в акции. Никто не стал бы покупать акции.

Представим себе опцион на покупку данной акции с ценой исполнения р_к, срок которого истекает через один период. Пусть С — стоимость опциона в текущий или начальный момент. Наша цель — рассчитать величину С в состоянии рыночного равновесия. Определим доход по опциону на покупку в каждом состоянии экономики в будущем периоде. Этот доход будет зависеть от будущей цены акции.

Пусть С_а — доход по опциону при наступлении первого будущего состояния экономики, т. е. в том случае, если цена акции достигнет ар.

Если цена акции на рынке в будущем периоде будет выше цены исполнения по опциону, то, купив акцию по опциону и продав ее рынке, можно получить доход, равный разности этих цен, а если цена акции в будущем периоде будет меньше цены исполнения по опциону, то покупать ее невыгодно и опцион не будет исполнен. Тогда получим:

Аналогично пусть С_ь — доход по опциону в том случае, если цена к этому времени снизится до Ър. Тогда, учитывая условия исполнения опциона, о которых шла речь выше, имеем:

Представленные формулы позволяют определить доход по опциону на покупку в каждом из двух выделенных будущих состояний экономики. На основе оценки этих доходов построим модель определения цены опциона в условиях рыночного равновесия.

Чтобы определить стоимость опциона за один период до окончания срока его исполнения, воспользуемся портфелем акций и облигаций, который эквивалентен данному опциону.

Важно запомнить

Портфель, составленный из рисковых и безрисковых активов и имеющий те же самые доходы в каждом будущем состоянии экономики, что и рассматриваемая рисковая ценная бумага или портфель из рисковых активов, называется жвивалентным данной ценной бумаге или портфелю. Эквивалентные портфели формируют из таких рисковых и безрисковых активов, текущая цена которых известна. Тогда в состоянии рыночного равновесия цена рассматриваемого опциона должна совпадать со стоимостью эквивалентного портфеля, поскольку, но определению они приносят одинаковые будущие доходы и, следовательно, имеют одинаковый риск. Можно показать, что если цена опциона отклоняется от стоимости эквивалентного портфеля, то возникает возможность извлечения арбитражной (спекулятивной) прибыли за счет совершения операций с опционом и эквивалентным портфелем и базовым активом. Учитывая, что доходы от опциона на покупку должны совпадать с доходами от эквивалентного портфеля, можно утверждать, что равновесная цена опциона совпадает со стоимостью этого портфеля.

Стоимость эквивалентного портфеля можно определить, зная рыночные цены тех активов, из которых он составлен. На этом основан расчет стоимости рыночных опционов. Они называются производными, или деривативными, финансовыми инструментами, поскольку их цены обусловливаются ценами других рисковых и безрисковых активов, которые включаются в указанный портфель.

Сформируем эквивалентный портфель из акций и облигаций, доходы от которого совпадали бы с доходами от опциона в будущем периоде.

Введем дополнительные обозначения: х — количество акций, которое необходимо купить по текущей цене р за каждую акцию для формирования эквивалентного портфеля; у — стоимость покупаемых облигаций, если у > О, или стоимость размещаемых облигаций (объем заемного капитала), если у < 0, которые необходимо купить (продать) для формирования эквивалентного портфеля; (1 + г)у — доход от погашения облигаций, если у > О, или погашение долга и уплата процентов, если у < 0, в следующем периоде; г — текущая ставка процента.

Нужно найти такие значения х и г/, чтобы доход от эквивалентного портфеля акций и облигаций был таким же, как и доход от опциона на покупку акции.

Если наступает первое будущее состояние экономики, в котором цена акции возрастает, то доходы от рассматриваемого эквивалентного портфеля с учетом сделанных обозначений составят:

В силу эквивалентности опциона и портфеля этот доход должен совпадать с доходами по опциону в первом будущем состоянии экономики, которое равно С_а. Тогда получим:

Во втором состоянии экономики доход от эквивалентного портфеля составит:

который должен совпадать с доходом по опциону во втором состоянии экономики, который равен C_h, и соотношение доходов запишем так:

Значения С_а и С_ь в конце периода, когда заканчивается срок исполнения опциона, известны, так как известны характеристики опциона и текущая цена данной акции. Имеем два уравнения с двумя неизвестными. Вычитая правую и левую части уравнения (3.3) из соответствующих частей уравнения (3.4), получим уравнение относительно х Преобразуя, получим:

Величина х называется коэффициентом хеджирования. Она определяет, сколько обыкновенных акций нужно купить, чтобы сформировать эквивалентный портфель.

Решим уравнения (3.3) и (3.4) относительно у и получим:

Опцион на покупку в каждом из двух будущих состояний экономики.

позволяет получить такой же денежный доход, как и доход от приобретения портфеля, включающего в себя облигации стоимостью у и х обыкновенных акций. При этом числитель в правой части выражения (3.6) может быть положительным или отрицательным в зависимости от соотношения указанных параметров. Тогда при положительном значении величина# показывает, что на соответствующую сумму покупаются облигации (или эта сумма капитала инвестируется под заданную ставку процента). Если величина у отрицательна, то необходимо эмитировать облигации так, чтобы выручить при их первичной продаже указанную сумму и погасить их, но заданной ставке процента г (или получить кредит сроком на один период под ту же самую ставку процента).

Опцион на покупку акции в каждом из двух будущих состояний экономики позволяет получить такой же денежный доход, как и доход от портфеля из облигаций стоимостью у и х обыкновенных акций. Поэтому в состоянии равновесия настоящая стоимость (текущая цена) опциона и эквивалентного портфеля должны быть одинаковы. Тогда должно выполняться следующее равенство:

Равновесная стоимость опциона на покупку С должна быть равна стоимости эквивалентного портфеля рх + у, иначе возникает возможность получить на операциях с опционом спекулятивную прибыль или арбитражный доход.

Можно получить вторую формулу для определения равновесной рыночной стоимости опциона. Для этого подставим в правую часть равенства (3.7) правые части равенств (3.5) и (3.6) соответственно. Тогда получим:

где.

Основное отличие расчетов равновесной стоимости опциона по формуле (3.8) от расчетов по формуле (3.7) связано с тем, что последний член цепочки равенства (3.8) нс зависит в явном виде от структуры и состава эквивалентного портфеля. Эту формулу можно использовать для определения стоимости опциона в том случае, когда параметры эквивалентного портфеля не учитываются в явном виде¹.

Для определения равновесной стоимости опциона на покупку должны быть известны текущая цена акции, темпы ее роста и текущая ставка безрискового процента и не нужны вероятности наступления обоих будущих состояний экономики.

Поскольку доходы по опциону и эквивалентному портфелю совпадают в каждом из двух рассматриваемых будущих состояний экономики [см. формулы (3.3.), (3.4)], то и риск по опциону и эквивалентному портфелю будет совпадать. Чтобы показать, что формулы (3.7) и (3.8) действительно характеризуют равновесную рыночную цену опциона, поясним их использование на следующем условном примере.

Предположим, что текущая цена акции р = 200 руб., цена исполнения опциона р_к = 250 руб., темп роста цены акции в первом состоянии экономики а = 1,4, во втором — b = 0,9, безрисковая текущая ставка процента г = 20%.

Тогда доход покупателя опциона на покупку в первом состоянии экономики составит, руб.:

а во втором:

C_h = тах (Ьр — р_к, 0) = тах (0,9 -200 — 250,0) = тах (180 — 250,0) = (-70,0) = 0.

Если цена исполнения опциона составляет 250 руб., то стоимость опциона (доход от продажи акции) в конце периода будет равна либо 30 руб. (при цене акции 240 руб.), либо нулю (при цене акции 225 руб.).

Чтобы найти х и г/, воспользуемся уравнениями (3.5) и (3.6). Так как а — b = 1,4 — 0,9 = 0,5 и С_а — С_}) = 30 — 0 = 30 руб., то по формуле (3.5) получим, акции:

Таким образом, указанный портфель предполагает покупку 0,3 акции². При использовании формулы (3.6) имеем, руб.:

• 1 О биномиальной модели цены опциона также см.: Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции: пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1997. С. 651—657.
• 2 В расчетах для примера далее учитывается 0,3 акции, в реальных условиях покупать можно только целое число акций, пакетами.

Отрицательное значение у показывает, что следует использовать заемный капитал, т. е. не покупать, а продавать собственные облигации со сроком погашения в один период. Портфель, эквивалентный опциону, должен включать в себя 0,3 обыкновенной акции на сумму 0,3 • 200 = 60 руб. и заем или выпуск облигаций на сумму 45,0 руб.

Определим доходы от этого портфеля в каждом будущем состоянии экономики.

Таблица 3.1

Доходы эквивалентного портфеля, руб.

Доходы по опциону, как очевидно из данных табл. 3.1, совпадают с доходами по эквивалентному портфелю. Тогда стоимость рассматриваемого опциона на покупку акции в состоянии равновесия совпадает со стоимостью этого портфеля, и по условию (3.7) получим, руб.:

Значит, 0,3 акции стоят 60 руб., 45 руб. взяты в долг под 20%.

Рассмотрим, что происходит в том случае, если цена опциона отклоняется от цены, полученной в результате расчетов. Если опцион продается на рынке по цене, отличной от 15 руб., то агент рынка, знающий, какова структура эквивалентного портфеля, может без всякого риска получить арбитражную прибыль или доход при нулевых чистых инвестициях, совершая арбитражные сделки. Например, пусть опцион продается за 20 руб., т. е. дороже полученной выше цены. Так как цена опциона завышена, этот агент будет заключать арбитражные сделки, продавая (надписывая) опционы на продажу, т. е. занимая «короткую позицию». Тогда ему необходимо иметь данную акцию в следующем периоде, чтобы продать ее в случае исполнения опциона по желанию агента, занимающего «длинную позицию» по данному опциону. В крайнем случае можно купить акцию в будущем на фондовом рынке. Чтобы получить арбитражный доход, рассматриваемый агент должен поступить следующим образом. В нулевом периоде он занимает «короткую позицию» по опциону на продажу и получает 20 руб., в этом же периоде он покупает 0,3 обыкновенной акции по цене 200 руб. за акцию и берет в долг 45 руб. Тогда в нулевой период итоговое сальдо его доходов и расходов составит, руб.:

Если наступит первое будущее состояние экономики и цена акции поднимется до 280 руб., то опцион по желанию агента, занимающего «длинную позицию», будет исполнен. Если у агента, занимающего «короткую позицию», нет этой акции, то он покупает ее рынке за 280 руб. и продает в соответствии с условиям опциона другой стороне по цене исполнения, равной 250 руб. Одновременно он продает 0,3 акции на рынке за 0,3 • 280 = 84 руб., возвращает долг и выплачивает проценты в сумме 1,2−45 = 54 руб. Сальдо его доходов и расходов в условиях данного состояния экономики будет таково:

Если наступает второе будущее состояние экономики и цена акции составляет 180 руб., то опцион на покупку акции не будет исполнен и агент продает 0,3 акции по рыночной цене и использует полученные деньги на погашение долга и уплату процентов. В этом случае денежные потоки в первый период будут таковы:

Соответствующие действия агента и его итоговые денежные потоки, позволяющие извлечь 5 руб. арбитражного дохода в нулевой период при нулевых доходах в каждом будущем состоянии экономики, представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Формирование арбитражного дохода в нулевой период для опциона на покупку, руб.

Если цена опциона завышена, то агент рынка может занимать «короткую позицию» в опционе на покупку данной акции и без всякого риска получать арбитражную прибыль, равную разнице между рыночной ценой и чистыми расходами на покупку эквивалентного рыночного портфеля. Очевидно, что представленный в табл. 3.2 арбитражный доход может быть получен в расчете на позицию в одном опционе. Однако можно занимать аналогичную позицию в портфеле данных опционов, что позволяет многократно увеличивать арбитражный доход.

Если все агенты рынка или их подавляющая часть захотят воспользоваться возможностями, которые представлены в табл. 3.2, то резко увеличится предложение данной позиции. Повышение предложения при прочих равных условиях приводит к сокращению цены, и действия арбитражеров приведут к сокращению цены опциона. Она вполне может проскочить отмеченную выше цену, равную 15 руб., и стать ниже этого уровня. В этом случае для извлечения арбитражного дохода агентам рынка нужно поменять свои действия. Если цена опциона на рынке стала меньше рассчитанных выше 15 руб., т. е. расходов на приобретение эквивалентного портфеля, то агент рынка для извлечения арбитражного дохода будет совершать сделки, противоположные только что описанным: он займет «длинную позицию» по опциону на покупку акции; продаст 0,3 акции за 60 руб., купит облигации на сумму 45 руб. под 20%. Предположим, что текущая цена составляет 12 руб. Действия агента рынка, а также соответствующие денежные потоки в нулевой период и в первом периоде в каждом будущем состоянии экономики приведены в табл. 3.3.

Таблица 33

Формирование арбитражного дохода в нулевой период для опциона на покупку, руб.

В числе действий агента, которые приведены в табл. 3.3, указана продажа 0,3 акции. Если эта акция у агента рынка есть, то никаких проблем это не вызывает. Если ее у него нет, это означает, что нужно продавать акцию, которой у него нет. Это можно сделать в форме так называемой короткой продажи, которая предполагает, что акцию можно взять взаймы, продать и через период купить и вернуть ее владельцу. Это довольно распространенная операция не только на рынке акций, но и ряда других товаров, позволяющая извлекать доход за счет разницы цен соответствующих периодов. В данной книге эта операция не разбирается подробно, а лишь используется для пояснения арбитражных стратегий.

Данные табл. 3.3 показывают, что и в случае, когда стоимость опциона меньше стоимости эквивалентного портфеля, существует возможность в нулевой период извлечь дополнительный, арбитражный доход, т. е. доход при нулевых чистых инвестициях. Если агенты рынка начнут следовать действиям, которые показаны в табл. 3.3, то это приведет к увеличению спроса на «длинную позицию» по опциону. Увеличение спроса при прочих равных условиях приводит к росту цены опциона, она начнет возрастать, может превысить расчетный уровень, равный 15 руб. Тогда агенты рынка будут следовать действиям, представленным в табл. 3.2.

И в том и в другом случае у агента рынка (арбитражера), занимающегося арбитражными (спекулятивными) операциями на рынке с акциями и опционами, появляется возможность получить безрисковый доход, как только цена опциона отличается от расходов на покупку полученного эквивалентного портфеля. Арбитражеры занимают «короткую позицию» по опциону на покупку, когда цена этих опционов завышена, и занимают «длинную позицию» по опциону, когда его цена занижена. Тем самым они, увеличивая спрос или предложение на рынке опционов, понижают или увеличивают цену опциона и не дают рыночной цене опциона существенно отклоняться от рыночной стоимости соответствующего эквивалентного портфеля, хотя и приводят к колебаниям цены опциона вокруг этого уровня. Поэтому стоимость опциона, определенная по формулам (3.7) и (3.8), представляет собой равновесную рыночную цену опциона, вокруг которой иод влиянием действий агентов рынка и происходят колебания фактической цены опциона. Такой подход к определению стоимости опциона покупателя известен под названием арбитражной оценки, поскольку действия агентов рынка определяют возможности получения арбитражного дохода.

В условиях данного примера (см. табл. 3.2 и 3.3) показана возможность построения арбитражных портфелей, позволяющих извлекать дополнительную прибыль в нулевой период при нулевых доходах в первом периоде. В принципе возможно построение арбитражных портфелей, позволяющих при соответствующих отклонениях цены опциона от рыночной стоимости эквивалентного портфеля извлекать дополнительный доход и в первом периоде¹. Для этого необходимо полученный в нулевом периоде арбитражный доход вложить в активы, приносящие доход в следующем периоде.

Более сложные многопериодные модели оценки стоимости опционов, предполагающие дискретное изменение цены базового актива на основе формулы Кокса —Росса —Рубинштейна или непрерывное изменение этой цены в форме случайного процесса на основе формулы Блэка—Шоулза, рассмотрены далее^[2][3].

Аналогично можно провести исследование опциона на продажу, который предоставляет владельцу право продать базовый актив. Опцион на продажу — это срочный контракт, дающий его владельцу право продать определенное имущество по фиксированной цене в будущем. Существуют опционы на продажу, дающие агенту, занимающему «длинную позицию», право продать базовый актив в любой момент до оговоренной даты (опцион американского типа) или только в оговоренный день (опцион европейского типа). Модели того же типа, что были использованы для оценки опционов на покупку, можно применить и для оценки опционов на продажу. В своей основе подход аналогичен. Формируется эквивалентный портфель, который принесет такой же доход, как и опцион продавца. Стоимость опциона продавца равна стоимости эквивалентного портфеля. Исследование полной теории оценки рыночных опционов выходит за рамки данного учебника.

Существенный вывод из рассмотренного подхода к определению равновесной рыночной цены опционов состоит в том, что ее величина определяется только на основе ожидаемых будущих доходов. Можно показать, что цена опциона, определенная на основе простой биномиальной модели, не превосходит максимального дохода и не может быть меньше минимального дохода по опциону европейского типа. Подобная цена не обязательно обеспечивает положительную прибыль, поскольку при наступлении относительно худших будущих состояний экономики доход по опциону не только не покрывает расходов на его приобретение, но просто равен нулю. На рынке опционов складывается принципиально отличная от других рынков система ценообразования, в основу которой положен принцип отсутствия арбитража. Этот принцип состоит в том, что одни и те же будущие доходы на текущем рынке должны в состоянии равновесия иметь одну и ту же равновесную рыночную стоимость вне зависимости от того, с помощью каких финансовых инструментов эти доходы достигаются. На рынке опционов это обеспечивается за счет наличия эквивалентных портфелей, доходы по которым совпадают с доходами по опциону в каждом будущем состоянии экономики, и регулированием рынка за счет возможности получения арбитражного дохода.

Важный принцип оценки опционов на основе формулы (3.8) заключается в том, что эта оценка получается инвариантной относительно конкретного выражения риска. Агент рынка, который принимает решение с помощью формулы (3.8), является нейтральным к риску в том смысле, что ему все равно, получит ли он неопределенные или рисковые доходы или гарантированный доход, равный их средневзвешенному значению. В нашем случае сопоставляются неопределенные доходы по опциону (С_а, С_ь) и эквивалентная им гарантированная сумма С (1). Учитывая особенности определения величины С (1) по формуле (3.8), говорят о риск-нейтральной экономике, в который все лица, принимающие решения, нейтральны к риску, для дисконтирования будущих доходов используется одна и та же безрисковая ставка процента, а переход от рисковых доходов к средним значениям осуществляется с помощью одних и тех же параметров q и 1 — q> которые по этой причине называют риск-нейтральными вероятностями, хотя по своему определению они вероятностями не являются. Их интерпретируют подобным образом лишь потому, что в этом случае в условиях риск-нейтральной экономики стоимость опциона будет определяться как дисконтированное ожидаемое значение будущих доходов. Риск-нейтральный подход к определению равновесных рыночных цен опционов оказался наиболее плодотворным и востребованным.

Построенные модели оценки стоимости опционов и принцип определения этой оценки на основе эквивалентных портфелей имеют очень широкое и разнообразное применение. Подобный принцип можно применить к оценке отдельных активов, не имеющих рыночной цены, или к оценке стоимости бизнеса. Речь идет о тех проектах, доходы, но которым можно моделировать с помощью биномиальной модели. Перенесение в реальную экономику некоторых принципов и условий управления рисками на основе рыночных опционов обеспечило развитие современных методов управления рисками с помощью метода реальных опционов, которые не являются рыночными инструментами. В любом случае данный подход или его многопериодный вариант, о котором речь пойдет далее, может быть использован для оценки как стоимости контрактных или встроенных реальных опционов, так и целесообразности рисковых инвестиций, обоснования текущей стоимости рисковых активов капитала или бизнеса в целом.

• [1] Впервые биномиальная модель цены опционов была представлена в первом издании книги У. Шарпа «Инвестиции» в 1978 г. (, Sharpe W. Investment. Englewood Cliffs, N.J.: PrenticeHall, 1978. Ch. 14); широко известной эта модель стала после статьи Дж. Кокса, С. Россаи М. Рубинштейна в 1979 г. (СохJRoss 5., Rubinstein М. Option Pricing: A Simplified Approach //Journal of Financial Economics. 1979. Vol. 7. P. 229—263).
• [2] Подробнее о теории арбитража см.: Крушвиц Л. Финансирование и инвестирование. Неоклассические основы теории финансов: пер. с нем. СПб.: Питер, 2000. С. 36—46.
• [3] Подробнее об этом пойдет речь в параграфах 5.1 и 6.4 соответственно.