Расчет дисков численным методом

Выше были рассмотрены отдельные частные задачи расчета дисков, для которых удалось получить аналитические решения. Решения были получены для относительно простой геометрии диска и при достаточно простых граничных условиях. В частности, мы считали, что толщина диска постоянна, а физико-механические величины рассматривали как константы.

Получить решение более сложных задач аналитическими методами, как правило, не удается. Вместе с тем полученные аналитические решения играют важную роль, выступая своеобразными ориентирами при решении более сложных задач. Поэтому специалисты в области численных методов используют аналитические решения для тестирования алгоритмов и программ расчета.

Рассмотрим один из алгоритмов численного анализа на примере расчета дисков.

Систему дифференциальных уравнений (12.40) запишем в нормальной форме Коши, т. е. как систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенную относительно основных неизвестных. В качестве основных неизвестных рассматриваем м/r и Т_г:

Отметим, что в общем случае величины Е, v и, а являются функциями радиуса и температуры, а величины 0 и, А — функциями радиуса.

Важным этапом при решении задач численными методами является обезразмеривание задачи. При рациональном проведении этой операции мы имеем дело с нормированным пространством неизвестных, в котором мы можем сопоставлять и сравнивать величины, изначально обладавшие разной размерностью. Кроме того, математические действия проводятся с величинами примерно одного порядка, что повышает точность вычислений на компьютере.

Введем новые безразмерные неизвестные и параметры:

Здесь х — безразмерная радиальная координата; а, b — радиусы внешнего и внутреннего контуров диска соответственно; А₀ — толщина в характерном сечении диска (например, в центре); Е₀ — модуль упругости материала при комнатной температуре.

С помощью введенных обозначений система (12.58) запишется в удобном для последующих действий виде:

В качестве дополнительного алгебраического уравнения (12.39) выпишем выражение для безразмерного параметра г/₃, характеризующего интенсивность окружного усилия:

Введем следующие векторно-матричные обозначения:

Перепишем систему (12.62) в векторно-матричном виде:

Общее решение этого уравнения можем представить в следующем виде:

где С— постоянная интегрирования; {К*} — частное решение уравнения (12.63); {У⁰} — общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (12.63). Оба решения находим посредством численного интегрирования на ЭВМ.

При получении частного решения {У*} в качестве компонент начального вектора берем нулевые значение:

Значения компонент начального вектора при интегрировании однородного уравнения, соответствующего уравнению (12.63) (т.е. при {R} = {0}, зависят от граничных условий на внутреннем контуре диска. Так, для свободного контура значение радиального усилия равно пулю, поэтому начальное значение вектора имеет вид.

Для жестко закрепленного внутреннего контура равно нулю радиальное перемещение, поэтому начальный вектор имеет вид.

Заслуживает специального рассмотрения задание начальных условий для диска, у которого нет центрального отверстия. Для такого диска малую окрестность центра Дг можно рассмотреть как область, имеющую постоянную толщину h = /г, (рис. 12.20).

Поэтому в соответствии с полученными в предыдущем параграфе результатами можно считать, что в этой центральной малой области силы и соответствующие им параметры постоянны и равны друг другу. Также постоянна температура. С учетом сделанных допущений можно записать

Рис. 12.20. К заданию начальных условий для диска, у которого нет центрального отверстия.

Здесь х₀ = Аг/Ъ. Учитывая этот результат в выражении (12.61), получим соотношение.

При решении задачи с помощью полученной формулы следует исключить центральную область и начать интегрирование из точки х₀. Согласно соотношению (12.69) начальные условия для интегрирования запишутся в виде.

Для более глубокого представления о возможностях численного метода рассмотрим относительно сложную задачу, связанную с расчетом диска, напрессованного на вал (рис. 12.21, а).

Рис. 12.21. Диск, напрессованный на вал

Диск 1 и вал 2 соединены друг с другом с натягом Д. Положим, что натяг полностью обусловлен деформацией диска (рис. 12.21, б), т. е. перемещением его внутреннего контура в радиальном направлении на величину А. Что же касается вала, считаем, что его деформации пренебрежимо малы. При решении будет использован принцип суперпозиции. Рассмотрим три вспомогательные задачи.

Первая задача заключается в определении напряженно-деформированного состояния диска после напрессовки диска на вал. Определим напряжения и перемещения в диске, показанном на рис. 12.22.

Интенсивность нормального усилия на внутреннем контуре равна Т_г(а) = = -Г_;<), отсюда

Рис. 12.22. Задача определения напряжений в диске после посадки на вал

Поскольку задача решается в безразмерном виде, положим г/₂(^хо) ^{= _}1- Начальные условия примут следующий вид:

Дважды интегрируем соотношение (12.63), принимая {/?} = {0}. В результате находим решение задачи {K^w}, аналогичное решению (12.64). В силу линейности задачи при замене параметра давления, действующего на внутреннем контуре, с (-1) на (-р) решение может быть записано как /?{У}.

Решение второй вспомогательной задачи (У⁽⁷Д учитывает напряжения п перемещения, обусловленные только изменением температуры вдоль радиуса. Отметим, что механические свойства материала могут рассматриваться как функции температуры. Решаем уравнение (12.63) рассмотренным выше методом, используя при этом соотношения (12.62) и (12.64). Вращение диска в расчет не принимаем, приняв в соотношении (12.62) Q² = 0.

Третье вспомогательное решение {У^(П>} учитывает напряжения и перемещения в диске, обусловленные вращением. Влияние температуры не учитываем, в соотношении (12.62) принимаем Т = 0. Задавая О² = 1, находим решение {У^{}. Для значения О, отличного от единицы, решение примет вид Q2{ У<�П)}.}

Общее решение задачи получим, суммируя три решения вспомогательных задач:

С помощью такого вида решения можно провести ряд исследований, связанных с подбором допустимых параметров конструкции. Рассмотрим задачу определения скорости вращения, при которой происходит раскрытие зазора и обнуляется натяг между диском и валом, необходимый для безопасной работы конструкции.

Развернем выражение (12.73):

Исходя из этого соотношения получим следующее условие:

где х_{ = a/b. С помощью условия (12.75) можно найти соотношение, связывающее друг с другом контактное напряжение/; и параметр натяга Д:

Исходя из этой формулы делаем вывод о том, что с ростом угловой скорости вращения Г2 контактное напряжение р уменьшается, т. е. ослабевает соединение диска и вала. Угловая скорость, которая соответствует нулевому контактному напряжению, называется освобождающей угловой скоростью Q₀. Параметр, соответствующий этой предельной скорости, определяется из соотношения (12.76), если положить р = 0:

откуда следует формула для определения значения освобождающей угловой скорости:

Отметим, что в качестве причины нарушения контакта между диском и валом также может выступить температура. В частности, если имеет место соотношение.

то освобождающая угловая скорость равна нулю.