Теории предельных состояний

При создании теорий предельных состояний используют два принципиально разных подхода. Первый подход, называемый критериальным подходом, предполагает предварительную формулировку некоторых правдоподобных гипотез или критериев с последующей экспериментальной проверкой построенной на их основе теории.

Второй подход, называемый феноменологическим подходом, исходит из экспериментальных результатов, посредством обобщения которых формулируются теоретические положения общего характера. К достоинствам этого подхода следует отнести возможность уточнения теории за счет увеличения числа и учета результатов дополнительных экспериментов.

Результаты, полученные при оценке прочности одного и того же напряженного состояния по различным теориям, как правило, не совпадают. Для каждой теории можно указать область предпочтительного применения как по виду напряженного состояния, так и по виду материала. Для одних материалов конкретная теория может дать достоверный результат, а для других — нет.

Гипотеза максимального нормального напряжения. Одно из первых соображений, которое было высказано по поводу определения предельного напряженного состояния, принадлежит Г. Галилею^[1]. В соответствии с его теорией о прочности можно судить только по величине максимального нормального напряжения g_{. В соответствии с гипотезой максимального нормального напряжения справедлива формула.

Серьезным недостатком этой теории является то обстоятельство, что с ее помощью невозможно анализировать напряженные состояния трехосного сжатия.

Поскольку разрушение материала связано с разрушением межмолекулярных связей, естественно связать процесс с максимальной положительной деформацией. В предположении соосности тензоров напряженного и деформированного состояний направление максимальной линейной деформации е_шах совпадает с направлением действия главного напряжения a: e_max = е_{.

В случае положительной деформации в, приравнивая максимальные деформации для сложного и одноосного напряженных состояний, получаем.

Отсюда следует формула для эквивалентного напряжения, соответствующая гипотезе максимальной линейной деформации:

Теории предельного напряженного состояния, основанные на гипотезах максимального нормального напряжения и максимальной линейной деформации, плохо согласуются с экспериментом и в современной расчетной практике применяются редко. Формула (11.2) может пригодиться при расчете хрупких материалов, а также материалов, плохо сопротивляющихся растяжению (стекло, керамика, некоторые виды пластмасс).

Гипотеза максимальных касательных напряжений. Тот факт, что пластическое деформирование материала сопровождается взаимным сдвигом частиц материала друг относительно друга, натолкнул исследователей на мысль предложить следующую гипотезу: пластические деформации в теле зарождаются тогда, когда максимальные касательные напряжения достигают некоторого предельного значения. Теория, построенная на этой гипотезе, получила название теории Треска¹ — Сен-Вепана^[2][3], или гипотезы максимальных касательных напряжений.

Для сложного напряженного состояния максимальные касательные напряжения определяются формулой.

Что касается максимального касательного напряжения для одноосного растяжения, то оно определяется следующим образом:

Приравнивая максимальные касательные напряжения для двух состояний, получаем формулу для определения эквивалентного напряжения:

Теория максимальных касательных напряжений с приемлемой для практических расчетов точностью позволяет анализировать предельное состояние пластичных материалов и широко применяется в машиностроении для расчета деталей. Вместе с тем теория плохо описывает поведение материалов, которые по-разному сопротивляются растяжению и сжатию. При попытке применить теорию наибольших касательных напряжений для анализа материала, подвергаемому всестороннему равномерному растяжению, а, = а₂ = а₃ = р> эквивалентное напряжение в соответствии с формулой (11.4) принимает нулевое значение. Отсюда следует неверный вывод о том, что напряжения растяжения любого высокого уровня не могут вызвать в материале пластические деформации?!

Следует также отметить, что в формуле (11.4) главные напряжения представлены несимметрично. При этом главное напряжение о₂ не влияет на результат. Отмеченное обстоятельство усложняет анализ, поскольку расстановка соответствующих индексов у главных напряжений в ряде расчетных случаев проводится после установления конкретных значений напряжений. В процессе нагружения главные напряжения могут меняться номерами, что неудобно при автоматизации расчетов с помощью ЭВМ.

Гипотеза потенциальной энергии формоизменения. Часть отмеченных недостатков удалось исправить в рамках теории, предложенной М. Хубером^[4] и Р. Мизесом. В качестве критерия было предложено использовать.

величину удельной энергии формоизменения, т. е. энергии, накопленной в единице объема материала, которая затрачивается на изменение формы.

В зарубежной литературе эта теория носит название теории фон Мизеса. В отечественной литературе закрепилось название теория Хубера — Мизеса, или гипотеза энергии формоизменения.

Данная теория нашла подтверждение в работах П. Бриджмена¹, за которые он в 1946 г. был удостоен Нобелевской премии по физике. Исследуя поведение металлических образцов, Бриджмен установил, что в случае всестороннего сжатия материал продолжает работать упруго и не разрушается даже при очень больших значениях давления (более 1000 МПа). Данный экспериментальный факт подтверждает правильность идеи об использовании в качестве критерия только части полной потенциальной энергии деформации, которая затрачивается на формоизменение.

Удельная энергия формоизменения для произвольного трехосного напряженного состояния определяется следующим образом:

В случае одноосного напряженного состояния формула имеет вид.

Приравнивая значения удельных энергий друг к другу, получим формулу для вычисления эквивалентного напряжения:

Для конструкционной стали экспериментально установлено, что предел текучести одноосного растяжения и чистого сдвига связаны друг с другом следующим соотношением:

Определим теоретически аналогичную зависимость между максимальными касательными напряжениями и пределом текучести на основе энергетического критерия прочности. В случае чистого сдвига имеем а, = т; а₂ = 0; а₃ = -т.

На основе формулы максимальных касательных напряжений получим.

При использовании энергетического критерия прочности получим.

Перси Уильямс Бриджмен (Percy Williams Bridgman, 1882—1961) — американский физик, лауреат Нобелевской премии по физике 1946 г. «За изобретение прибора, позволяющеТаким образом, в рассмотренном случае полученный теоретически с помощью энергетического критерия результат более точно воспроизводит условия возникновения пластичности.

Упрощенное плоское напряженное состояние. При практических расчетах часто встречается так называемое упрощенное плоское напряженное состояние (рис. 11.2), представляющее собой суперпозицию одноосного напряженного состояния и чистого сдвига в плоскости действия нормального напряжения.

Рис. 11.2. Упрощенное плоское напряженное состояние.

С учетом индексов для главных напряжений находим.

Используя формулы (11.4) и (11.5), получим следующие выражения для эквивалентного напряжения согласно гипотезе максимальных касательных напряжений и гипотезе энергии формоизменения соответственно:

В случае чистого сдвига получим.

Таким образом, максимальное расхождение результатов, получаемых согласно гипотезе наибольших касательных напряжений и гипотезе энергии формоизменения, возникает при чистом сдвиге и не превышает 14%.

• [1] Галилео Галилей (Galileo Galilei, 1564—1642) — итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени, основатель экспериментальной физики и основоположник классической механики.
• [2] Анри Эдуард Треска (Henri Edouard Tresca, 1814—1885) — французский инженер-механик, создатель теории пластичности, предложил критерий пластичности максимального сдвига.
• [3] Барре де Сен-Венан Адемар Жан Клод (Saint-Venant, 1797—1886) — французский ученый-механик. Сформулировал принцип смягчения граничных условий, построил общую теорию кручения и изгиба призматических стержней, заложил основы теории пластичности.
• [4] Максимилиан Тытус. Хубер (М. Т. Huber, 1872—1950) — польский ученый-механик, предложил критерий пластичности потенциальной энергии изменения формы.