Определение числа независимых узлов и контуров

Для определения числа независимых узлов и независимых контуров электрической цепи и, следовательно, числа независимых уравнений, составляемых на основании законов Кирхгофа, воспользуемся тем обстоятельством, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из входящих в систему уравнений отличалось от остальных уравнений хотя бы одной переменной. Действительно, если любое из входящих в систему уравнений содержит хотя бы одну переменную, отсутствующую в других.

Рис. 135. Главные сечения графа (рис. 1.27), соответствующие деревьям, приведенным:

а — на рис. 1.32, а б — на рис. 1.32, б в — на рис. 1.32, в

уравнениях, то данное уравнение не может быть получено ив других входящих в систему уравнений и, следовательно, система уравнений является линейно независимой. Таким образом, для линейной независимости уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, достаточно, чтобы каждое из уравнений баланса токов отличалось от других уравнений хотя бы одним током или, что-то же самое, чтобы каждый из узлов или каждое из сечений, для которых составляется уравнение баланса токов, отличались бы от других узлов или сечений хотя бы одной ветвыо. Этому условию удовлетворяет система главных сечений графа, так как каждое из главных сечений, соответствующих выбранному дереву, отличается от других главных сечений, по крайней мере, одной ветвью, а именно ветвыо дерева, входящей в данное главное сечение. Каждому дереву графа можно поставить в соответствие т= q — 1 главных сечений и, следовательно, m = q- 1 линейно независимое уравнение баланса токов. Более строгое рассмотрение этого вопроса показывает, что число линейно независимых уравнений баланса токов не изменится, если эти уравнения составлять не для главных сечений графа, а для узлов электрической цепи (напомним, что совокупность ветвей, инцидентных какому-либо узлу графа, представляет собой каноническое сечение графа). Следовательно, любые q — 1 узлов электрической цепи образуют систему независимых узлов. Обычно в качестве независимых узлов, для которых составляется система независимых уравнений баланса токов, выбирают узлы с номерами от 1 до q — 1. Для узла с номером 0, который будем называть базисным, уравнений баланса токов не составляют.

Для линейной независимости уравнений, составляемых на основании второго закона Кирхгофа, достаточно, чтобы каждое из этих уравнений отличалось от остальных хотя бы одним напряжением. Следовательно, для того чтобы выделенная совокупность контуров была независимой, достаточно, чтобы каждый контур отличался от остальных хотя бы одной ветвью. Этому требованию удовлетворяет система главных контуров, соответствующих какому-либо дереву графа, так как каждый из главных контуров отличается от других, по крайней мере, соответствующей ему главной ветвыо. Так как число главных контуров, соответствующих любому дереву графа, п = р — q + 1, то в каждой цепи можно выделить п независимых контуров и составить для них п линейно независимых уравнений баланса напряжений.

Таким образом, общее число линейно независимых уравнений, которые можно составить для произвольной цепи на основании законов Кирхгофа, оказывается равным числу ветвей рассматриваемой цепи:

Пример 1.7. Составим систему линейно независимых уравнений баланса токов и напряжений для цепи, схема которой приведена на рис. 1.25, а (граф цепи изображен на рис. 1.27). При выбранном топологическом описании число ветвей цепи р = 7, узлов q = 4.

Следовательно, для нее можно составить т = q — 1=3 независимых уравнения баланса токов ип= р — q + 1 = 4 независимых уравнения баланса напряжений. Разумеется, вид системы уравнений будет зависеть от выбора системы независимых узлов (сечений) и системы независимых контуров.

Для дерева графа цени, изображенного на рис. 1.32, в, и соответствующих ему главных сечений (см. рис. 1.35, в) и главных контуров (см. рис. 1.33) система линейно независимых уравнений баланса токов и напряжений имеет следующий вид:

где i₇ =j, щ = -Uj— ток и напряжение ветви с источником тока.

Три линейно независимых уравнения баланса токов, составленных для главных сечений графа рассматриваемой цепи, можно заменить уравнениями баланса токов, составленными для любых трех узлов цепи. После выбора в качестве независимых узлов с номерами 1, 2 и 3 система независимых уравнений баланса токов примет вид.

В связи с гем, что использованное достаточное условие линейной независимости систем уравнений не является необходимым, для каждой электрической цепи можно найти и другие системы независимых контуров и сечений, не совпадающие ни с одной из систем главных контуров и главных сечений графа рассматриваемой цепи. В частности, ячейки плоского графа, число которых оказывается равным п = р — q + 1, представляют собой систему независимых контуров (будем называть эти контуры основными), которые могут не совпадать ни с одной из систем главных контуров графа данной планарной цепи.

Пример 1.8. Составим систему уравнений баланса напряжений для основных контуров цепи, граф которой приведен на рис. 1.36 (направление обхода всех контуров выбрано одинаковым — по часовой стрелке):

Рис. 1.36. К примеру 1.8.

Таким образом, основные контуры рассматриваемой цепи образуют систему независимых контуров, не совпадающих ни с одной из возможных для данной цепи систем главных контуров. В других случаях, например для графа, изображенного на рис. 1.27, система основных контуров может совпадать с одной из систем главных контуров.

Следует подчеркнуть, что понятие ячейки (окна) графа было введено ранее только для плоских графов и что только для них возможен выбор ячеек графа в качестве независимых контуров.

Вопросы для самопроверки

• 1. Что такое узел? Каков порядок нумерации узлов?
• 2. Что такое ветвь? Как обозначаются токи ветвей на схеме цепи?

• 3. Почему выражение «найти токи схемы» является просторечием?
• 4. При каком топологическом описании (сокращенном или расширенном) схема цепи имеет меньше узлов?
• 5. Что называют контурами электрической цепи?
• 6. Как выбирается направление обхода контура?
• 7. Что такое дерево графа и главный контур?
• 8. Как определяется ориентация главных сечений графа?
• 9. Как изменяется число контуров при переходе от расширенного топологического описания к сокращенному?
• 10. Какие соединения элементов цепей называют последовательным, параллельным и смешанным?
• 11. Выполняются ли законы Кирхгофа в нелинейных цепях?
• 12. Что называют независимыми узлами и контурами цепи?
• 13. Как связаны между собой число главных контуров цепи и число ветвей дерева графа той же цепи?
• 14. Относится ли к независимым базисный узел цепи?
• 15. Какие уравнения цепи относят к компонентным, а какие к топологическим?
• 16. Чем отличается сумма токов от алгебраической суммы токов?