Атомизм и теория множеств

Вторая четверть XIX в. прошла под знаком огромных успехов реформы математического анализа, проведенной О. Коши. Коши жестко действовал в рамках установок эфирной традиции на максимальное приближение к конечности решения любого дифференциального уравнения. Поэтому в рамках реформы огромное внимание уделялось сходимости любых бесконечных рядов. И в этой связи рассматривались непрерывность и дифференцируемость функций. По уже в этот период всеобщность реформы Коши начали ставить под сомнение, приводя различные противоречащие примеры.

Первые примеры привел чешский математик Б. Больцано, который построил непрерывные ломаные линии, не имевшие производных. Причем Больцано был четким сторонником введения актуальной бесконечности. Ему принадлежат рассуждения по поводу парадокса Галилея. Правда, он побоялся сделать вывод о том, что часть равна целому, и попытался построить теорию актуальной бесконечности исходя из туманных представлений о расходящихся рядах. В целом труды Больцано были малоизвестны и не сыграли существенной роли в ниспровержении теории Коши.

Математическая деятельность К. Вейерштрасса открывает принципиально новую страницу европейской математики XIX в. Именно с Вейерштрасса начался переход от эфирной традиции к атомизму. Причем этот переход осуществлялся не математиками-любителями, а на высоком академическом уровне. Вся математическая деятельность Вейерштрасса носит именно переходный характер. Он начинал как представитель эфирной традиции, затем вполне от нее отошел, но гак и не смог полноценно встать на атомистические позиции.

Начнем рассмотрения с первого этапа творчества. В своих первых работах Вейерштрасс рассматривал преобразование эллиптических функций. Он ввел новый вид целых функций и назвал их в честь Абеля Al. Через отношение этих функций Вейерштрасс смог выразить разные виды эллиптических функций. Но эти функции незначительно отличались от знаменитых тета-функций Якоби. Значимость приложения тета-функций Вейерштрасс вполне осознавал. Вот что он говорил о приложении тета-функций: «Знаменитые тета-функции Якоби, с помощью которых можно, с одной стороны, узнать, на сколько квадратов разлагается любое заданное число, которые позволяют спрямить дугу эллипса и, с другой стороны, как я здесь добавлю, дают возможность найти истинный закон колебания маятника»¹. Из функции А1 позже возникли функции а, отношения которых симметрично выражали эллиптические функции.

По окончании этих работ перед Вейерштрассом вполне ясно встала новая судьбоносная задача. «Для самого Вейерштрасса теперь возникла цель жизни: строгой методической работой над степенными рядами (в том числе и многих переменных) разрешить проблему обращения гиперэллиптического интеграла сколь угодно высокого порядка или даже, может быть, как было пророчески предсказано Якоби, и наиболее общих абелевых интегралов»¹. Работа над эллиптическими и гиперэллиптическими функциями еще находилась полностью в юрисдикции эфирной традиции. Но выход в область бесконечных степенных рядов постепенно начал выводить Вейерштрасса в поле атомистической математики.

Вейерштрасс начинает с рассмотрения степенного ряда вида /(z — а). Его значение внутри круга сходимости представляет собой «элемент функции». Затем с помощью степенного ряда строится аналитическое продолжение функции как совокупности всех продолжений данного «элемента». После введения комплексных чисел для описания эллиптических и гиперэллиптических чисел математикам теперь приходится рассматривать сходимость ряда внутри круга сходимости. А на границе этого круга сходимости внимательно исследовать полюса и особые точки. Вейерштрасс выяснил, что если эти полюса и особые точки имеют конечный порядок, то их можно разложить в ряд по степеням (z — z₀)". Если же они являются бесконечными, то значение будет —.

z.

Идея аналитического продолжения встречается еще у Римана, но последний не выходит из области эфирной математики. В отличие от Римана Вейерштрасс делает принципиально важный шаг вперед. Он вводит иррациональные числа и таким способом арифметизирует аналитическое продолжение. Обращение к арифметике, рассматривающей дискретные числа, позволяет выйти за пределы чистой непрерывности величины. Теперь перед математиками открываются возможности рассмотреть функции, состоящие из дискретных особых точек и полюсов, рядоположенных друг с другом.

Но эти особые точки не являются целыми или рациональными числами. Для их описания именно и требуются иррациональные числа. Ведь это предельные точки, которые задаются с некоторыми окрестностями. Если математика рассматривает окрестности некоторой особой точки, то уже не будет четкой границы у данной области. Край области будет как бы размыт. И Вейерштрасс вводит принцип существования верхней (нижней) грани ограниченного множества.

За счет этих окрестностей предельных точек получаются совершенно удивительные непрерывные функции, которые состоят только из таких предельных точек. Это так называемые патологические функции. Вейерштрасс построил один из первых примеров такого рода функций. Именно эти функции, которые в избытке стали появляться с середины XIX в., окончательно похоронили реформу Коши и вообще всю эфирную математику непрерывного.

Эти чудовища, по выражению математиков, наводили ужас на сторонников потенциальной бесконечности: «В течение целого века мы видели столько чудовищ такого рода, что почувствовали некоторое пресыщение, и чтобы нас действительно удивить, надо было бы показать нам нагроможденис самых нелепых уродств. У большинства математиков XIX века чувство отвращения сменилось состоянием растерянности»^[1].

Действительно, все эти функции были непрерывны, но не имели производных. Эрмит в знаменитом изречении говорит, что он «с ужасом отворачивается от внушающей сожаление язвы непрерывных функций, нс имеющих ни в одной точке производной»^[2]. Приведем в качестве примеров функции Вейерштрасса и Дарбу:

ОО.

• функция Вейерштрасса F (x) = ?а^п cos (6"7tr), где 0 < а < 1, Ъ — целое о.

нечетное, ab > 1 + 3/2 л.

ОО |.

• функция Дарбу F (x) = sin[(& + 1)!7слг].

о k

Итак, существуют некоторые функции, которые состоят из дискретных предельных особых точек. По Вейерштрассу, любую такую функцию можно выразить через систему степенных рядов, связанных друг с другом отношением аналитического продолжения. А отношения двух бесконечных рядов Вейерштрасс уже использовал при изучении эллиптических функций: «Описание процесса аналитического продолжения степенных рядов и его применение к представлению решений системы дифференциальных уравнений за пределами первоначальной области сходимости, представляющей окружность точки t = 0, полностью и целиком являлся открытием Вейерштрасса»^[3].

Исходя из этих представлений Вейерштрасс смог доказать, что /7-кратно периодическая целая функция п переменных может быть представлена рядом Фурье. Также в качестве значимых достижений Вейерштрасса следует отметить разложение целых аналитических функций на первичные множители, что позже привело к созданию общей теории целых (и мероморфных) функций.

Проблема разложения числа на простые числа в комплексной области, по Вейерштрассу, связана с двояко-периодическими функциями, т. е. это переводит нас в область эллиптических функций. Оказывается, что в комплексной области числа не имеют одного разложения на простые числа. В таком случае может возникнуть четыре разных разложения, которые можно представить в виде квадрата. «Гаусс не пренебрегает при этом геометрическим истолкованием приведенных соотношений с помощью решетки квадратов, образуемых числами а + Ы, и перебрасывает этим истолкованием мост к теории двояко-периодических функций»^[4].

Теперь перейдем к изложению собственно математического атомизма второй половины XIX в. Речь пойдет о теории множеств Кантора. Современная математическая традиция основывается на философских положениях атомистической теории. Философия атомизма является аксиоматикой для математики начиная со второй половины XIX в. Поэтому необходимо предпринять изложение основных положении теории множеств с точки зрения атомизма. Академик П. С. Александров писал: «Думаю, что во второй половине XIX века не существовало математика, оказавшего большее влияние на развитие математической науки, чем создатель абстрактной теории множеств Георг Кантор»^[5].

Г. Кантор являлся учеником и последователем Вейерштрасса. Он продолжил идеи Вейерштрасса в том пункте, где последний остановился и не сделал самый важный для второй половины XIX в. шаг. Вейерштрасс так и не осуществил переход к математическому атомизму, хотя его математическая деятельность полностью подготовила необходимость этого перехода. Кантор начал с исследования тригонометрических рядов, т. е. той области математики, которую активно разрабатывал Вейерштрасс.

В 1870 г. Кантор доказал теорему о единственности представления функции сходящимся к ней на отрезке тригонометрическим рядом общего вида. И сразу за этим он начал исследования случая, когда сходимость ряда имеет место не во всех точках отрезка. В статье 1872 г. были достигнуты результаты, описывающие случай сходимости ряда везде, кроме некоторого класса бесконечных точечных множеств: «В этой статье вводятся понятия предельной точки множества и производных множеств различных конечных порядков; теорема единственности оказывается верной для случая, когда множеством особых точек является множество, одно из производных множеств которого нулевое. Кроме того, в этой же статье Кантор предложил носящую его имя теорию действительных чисел, по времени практически совпадающую с теориями, разработанными независимо друг от друга Ш. Мерэ, К. Вейерштрассом и Р. Дедекиндом»^[6].

Кантор смело признал актуальную бесконечность. Он разрешил парадокс Галилея, признав, что целое равно части. Обосновано это положение было с помощью понятия равномощности. Введя понятие равномощности, Кантор утверждал, что ряд натуральных чисел равномощен ряду квадратов натуральных чисел. Кантор доказал несколько теорем о равномощности континуумов различного числа измерений. Ему принадлежит заслуга введения кардинальных и трансфинитных чисел.

В цикле работ 1879—1884 гг. были описаны различные классы точечных множеств: изолированные, всюду плотные, замкнутые, совершенные и т. д. Много усилий было потрачено на доказательство гипотезы континуума. В работах 1895—1897 гг. Кантор начал строить теорию множеств уже не как завершение всей математики, но как ее основание. В первую очередь он рассматривал математику как аксиоматическую систему для арифметики.

Математики уже долго искали новые пути развития математики именно в арифметизации. Идеи арифметики были созвучны с новым дискретным подходом к изучению особых точек, образующих точечные множества. Основное направление состояло в арифметизации математического анализа. Было решено, что проблема непрерывности, по Коши, связана с понятием величины и представлением непрерывности как интуитивно очевидной геометрической линии. Поэтому понятие непрерывной величины решено было заменить понятием числа как совокупности дискретных точек.

Тенденция к арифметизации господствовала в математике в 1860— 1880 гг. Удалось построить новую теорию действительных чисел и выразить их через рациональные числа. Здесь следует отметить теорию сечений Р. Дедекинда и работы К. Вейерштрасса. Далее рациональные и целые числа удалось выразить через пары натуральных чисел, что и являлось конечной целью арифметизации, ибо натуральные числа и есть объект арифметики. Более того, для полноты и непротиворечивости теории были предприняты попытки аксиоматизировать саму арифметику. Основные заслуги здесь принадлежат Ф. Фреге, Дж. Пеано и Р. Дедекинду.

Работы Кантора продолжили эту традицию. «Однако на этом пути Кантор вскоре столкнулся с еще более трудным препятствием, чем та же гипотеза континуума при первоначальном подходе. Как свидетельствуют его письма Дедекинду 1899 года, а еще ранее — несохраиившееся письмо к Гильберту 1896 года, Кантор вплотную подошел к парадоксам теории множеств, и криком души выступает письмо от 28 августа 1899 года, в котором он признает недоказуемость непротиворечивости существования основных объектов своей теории — вполне упорядоченных множеств и алефов, включая конечные, и предлагает принять факт их непротиворечивости за простую недоказуемую истину, за аксиому»^[7].

Так и недоказанная гипотеза континуума также породила огромные проблемы. Именно при доказательстве этой гипотезы появились новые парадоксы, с которыми столкнулся атомизм. Наиболее известным является парадокс Рассела, который вскрыл противоречивость понятия «множества всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента».

Рассел рассуждал следующим образом: «Применение доказательства Кантора привело меня к рассмотрению классов, не являющихся членами самих себя; эти классы, видимо, должны образовывать некоторый класс. Я задался вопросом, является ли этот класс членом самого себя или нет. Если он член самого себя, то должен обладать определяющим свойством класса, т. е. не являться членом самого себя. Если он не является членом самого себя, то не должен обладать определяющим свойством класса, и потому должен быть членом самого себя. Таким образом, каждая из альтернатив ведет к своей противоположности. В этом и состоит противоречие»^[8].

После обнаружения парадоксов в основании математического атомизма европейская математика погрузилась в состояние кризиса оснований 1900—1930 гг. С этого момента стало достаточно очевидно, что проблемы внутри оснований математики принципиально неразрешимы. Математика честно расписалась в своем бессилии. Весь XX в. ситуация нисколько не улучшалась. Наоборот, теоретическая математика повсеместно сдавала свои позиции практическим приложениям математики. Европейцы оказались еще не готовы к восприятию идей актуальной бесконечности. Причем эта неготовность существует до сих пор. Поэтому современная математика отчасти «подвисла в воздухе». Такая же ситуация наблюдается в теоретической физике, которая в начале XX в. была перестроена на теоретико-множественных основаниях.

Но все же после обнаружения парадоксов математический атомизм не остановил своего развития. Так, представители французской школы теории функций — Э. Борель, Р. Бэр и в наибольшей степени А. Лебег — были прямыми продолжателями Кантора. В Германии математический атомизм разрабатывался Д. Гильбертом и его последователями. Очень значительный вклад в развитие математического атомизма в XX в. внесла московская математическая школа, возглавлявшаяся Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным.

Пока следует остановиться в историческом изложении математического атомизма, ограничившись упоминанием основных школ математики XX в. Рассматривать эти представления более подробно не позволяет принципиально сжатый характер изложения. Но еще и не прошло достаточно времени, чтобы можно было дать значимые объективные оценки современного вектора развития математического знания.

• [1] Бурбаки II. Очерки по истории математики. М., 1963. С. 26.
• [2] Там же. С. 26.
• [3] Математика XIX века. Т. 2. С. 210.
• [4] Клейн Ф. Указ. соч. С. 367.
• [5] Колмогоров А. Юшкевич А. П. Послесловие в книге «Г. Кантор. Труды, но теориимножеств». М., 1985. С. 373.
• [6] Там же. С. 376.
• [7] Медведев А. II. Георг Кантор (биографическая справка) // Г. Кантор. Труды, но теориимножеств. М., 1985. С. 386.
• [8] Рассе, 7 Б. Мое философское развитие // Проблемы истины в современной западнойфилософии. М., 1987. С. 119−120.