Теория неделимых Г. Галилея и Б. Кавальери

Теперь рассмотрим деятельность великого физика, математика и философа Галилео Галилея. Действительно, именно с именем Галилея во многом ассоциируется зарождение новоевропейской науки. Но понимание значения Галилея для нас и для его современников немного разнится. Выдающееся значение Галилея для XVII в. состояло в его последовательной активной борьбе с аристотелизмом XVI—XVII вв. Основным аргументом в этой борьбе были астрономические наблюдения Галилея. Мы уже не в состоянии понять всей смелости и революционности Галилея. Люди в начале XVII в. жили в совсем другом мире. Они были совершенно уверены, что живут в идеальном космосе. Отчасти они были правы, ибо средневековое мироустройство всеми силами стремилось построить «царство Божье» на земле.

В какой-то момент действительность и мечта перемешались. Но это произошло из-за необразованности подавляющей части населения и сознательной подтасовки со стороны небольшого количества образованных монахов. Последние хорошо знали, что аристотелевское описание мира относится не к нашему миру, а к идеальному космосу. Именно в этом мире присутствует разделение на подлунный и надлунный миры. Именно в идеальном космосе Луна, Солнце, планеты состоят из эфира как пятого первоэлемента. Именно в идеальном космосе Землю можно рассматривать как неподвижную. И именно идеальный космос был сотворен богом много тысячелетий назад. Но объяснить все это диким германцам и славянам было просто невозможно. У них была своя народная религия. Они поняли в христианстве то, что смогли понять, и жили в мире своих предрассудков.

Но время идет. Часть диких германцев превратились в достаточно обеспеченных городских жителей обновленной Европы. Их уровень образования уже значительно превосходил уровень тех варваров, которые разрушили античную цивилизацию. И они стали смутно подозревать, что их предрассудки не соответствуют реальному положению дел. Первым делом (и это главное!) они поняли, что не могут вести себя как ангелы в раю. Повышение уровня жизни начало явно входить в противоречие с идеалом христианской бедности. А раз они не ангелы, значит, и Земля — не идеальный космос. И тут появляется Галилей, который наводит свою подзорную трубу на небо и говорит то, что все уже очень хотят услышать. Луна не состоит из эфира, а имеет горы и моря. На Солнце наблюдаются пятна. Открыты спутники у Юпитера, а о них Аристотель ничего не говорил. Млечный путь — это множество звезд. Сатурн имеет кольца.

Все это не вписывается в представление о мире, как он описан в физике Аристотеля — Птолемея. Зато это могло быть вписано в новую коперниканскую гелиоцентрическую систему мира. Сначала церковь готова была занять позицию, которую она занимает сейчас. Но это значило оказаться в роли маргинала европейской культуры, который питается за счет необразованности, некультурности и страхов части населения. И Католическая церковь начала абсурдную атаку на новые взгляды новых европейцев. Героем-мучеником оказался Галилей, достаточно сурово пострадавший от инквизиции. Но ближайшие десятилетия все расставили на свои места. Идеи Галилея полностью восторжествовали. Такова была великая культурологическая миссия Галилея.

Теперь посмотрим на роль Галилея в развитии новоевропейской науки. Галилей продолжал многовековую традицию атомизма. Атомизм присутствовал в научной жизни Европы со времен Античности и всегда был конкурентом ортодоксальной христианской учености. К началу XVI в. светский научный атомизм составлял значительную силу, имеющую долгий опыт борьбы с догматическим христианством. Именно эта протестная среда и должна была выделить героя. Таким героем в нужном месте и в нужное время оказался Галилей. Сразу надо сказать, что Галилей не стал абсолютным победителем. В 1640-е гг. уже заслуженная атомизмом победа была достаточно неожиданно украдена Рене Декартом. Декарт стоял на позициях материального эфира, который в разных формах доминировал в Европе до середины XIX в. Атомизму опять осталось ждать своего звездного часа.

Но вернемся к Галилею и атомизму первой половины XVII в. После появления атомистических трех законов Кеплера и «Математических бесед» Галилея атомизм впервые предъявил свои претензии на доминирование в астрономии и физике. «Математические беседы» открыто излагали основы новой атомистической статики и динамики. Все эти положения были уже давно известны. Все образованные европейцы читали Архимеда, Суайнсхеда и Орема. Все знали о существовании метода неделимых, большинство математиков Возрождения владели этим методом. Но надо было написать манифест именно в момент революции, а не за пару веков до этого. Вторая четверть XVII в. как раз и была временем научной революции.

Рушилось доминирование христианского мировоззрения, возникал духовный вакуум. Атомизм неспешно попытался занять, кажется, вполне заслуженное место. Но это делалось очень академично. «Слишком далеки они были от народа». Атомизм, особенно метод неделимых, был слишком сложен для понимания. Примитивный атомизм прост: шарики-атомы летают в пустоте. Но такой атомизм закончил бы так же печально, как и профанированное христианство. Кеплер, Галилей, Кавальери не писали просто. Они писали о настоящем научном атомизме — сложнейшем научном феномене. Они говорили на малопонятном языке математики, да еще на языке метода неделимых. И они проиграли Декарту, который с помощью своей философии смог сделать материальный (механический) эфир более популярным в науке, чем атомы.

Кстати, также тяжеловесен был и великий Ньютон, только с помощью бойкого и легковесного Вольтера он смог покорить Европу. Такова ситуация на поверхности. А по сути после философии первоэлементов должна следовать именно философия материального эфира и лишь затем атомизм. На самом деле популярного изложения атомизма не существует до сих пор. Эта книга — шаг в этом направлении. Думается, что усилия не пропадут даром и философия атомизма будет рано или поздно создана, тем более что сейчас самое время для этого.

Попробуем дать изложение атомистических взглядов Галилея. Для понимания атомизма, по Галилею, необходимо жестко выйти за рамки чувственной данности, восприятий и постулировать существование только атомов и пустоты. «Никогда, — пишет Галилей, — я не стану от внешних тел требовать что-либо иное, чем величина, фигуры, количество и более или менее быстрые движения, для того чтобы объяснить возникновение ощущений вкуса, запаха и звука; и думаю, что если бы мы устранили уши, языки, носы, то остались бы только фигуры, числа и движения, но не запахи, вкусы и звуки, которые, по нашему мнению, вне живого существа являются не чем иным, как только пустыми именами»¹.

Антология мировой философии. Т. 2. С. 224—225.

Это разделение на первичные и вторичные качества вполне повторяет мысли Демокрита. Мир, который человек воспринимает, не является миром атомов и пустоты. Как говорил Демокрит, знание об атомах лежит «на дне глубокого колодца». Чтобы познать атомы, необходимо принять парадоксальный мир актуальной бесконечности, мир мгновенных взаимодействий, мир четырехмерного пространства-времени. Человек должен измениться, чтобы научиться познавать все это. Он должен перестать безоговорочно доверять своим чувствам и обычной логике, т. е. всему тому, что так помагает ему в повседневной жизни. Для этого необходимо научиться радоваться не чувственным наслаждениям, а интеллектуальным.

Именно радость познания откроет мир истины, спрятанный «на дне глубокого колодца». Современному человеку открыты сейчас все богатства мировой культуры. В произведениях Галилея изложены замечательные достижения атомистической культурной традиции. Галилей изложил как статические, так и динамические методы атомизма. Известно, что статика Галилея подвергалась критике со стороны последователей материального эфира. Причем положения атомистической статики Галилея до сих пор сч итаются ошибочным и.

Совсем другое историческое значение имели динамические атомистические представления Галилея. Рассмотрим подробнее динамику Галилея, т. е. вопросы движения атомов. Динамика позволяет описать возникновение линии через движение атома-точки. Точка рассматривается как материальная точка, являющаяся аналогом неделимого. Галилей порождает линию движением точки. Первое простейшее движение атома — это равномерное движение. Напомним, что это всецело атомистическая процедура порождения линии движением точки.

Философски Галилей рассуждал следующим образом. Атом есть субстанция, поэтому он обладает собственным движением. Это собственное движение атома есть его внутренняя активность. Галилей постулирует первый закон будущей ньютоновской механики. Согласно этому закону атом сам по себе будет двигаться равномерно и прямолинейно до бесконечности. Итак, движение атома породит бесконечную линию. И тут становится понятна логика Галилея. Нельзя говорить об атоме без этой бесконечной линии. Линия и атом полагаются одновременно в этом законе. Атом субстанциально как неделимое может существовать только внутри линии, ибо атом без движения не существует. А движение, по атомизму, заключается в суммировании неделимых с образованием геометрических объектов с размерностью на единицу больше.

Инерционное, субстанциональное движение атома описывается первым законом Галилея — Ньютона: «Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить эго состояние»^[1]. Согласно этому закону всякое тело, предоставленное самому себе, будет двигаться равномерно и прямолинейно до бесконечности. Это движение одного атома в абсолютной пустоте вне других атомов.

Это элементарное, первичное движение — субстанциональное движение субстанционального атома. Пустота абсолютно необходима для описания перводвижения, ибо атом должен быть один, никто на него не должен воздействовать. Поэтому без признания пустоты невозможен первый закон новой механики. Поэтому и у Демокрита движение атомов невозможно без пустоты.

Равномерное движение — это стандартное актуально бесконечное деление. При динамическом понимании атомизма следует говорить о том, что линия порождена движением одного атома в четырехмерном пространствевремени. Тогда линию следует понимать как совокупность мгновенных положений одного и того же атома при его перемещении по оси времени. Это сложнее представить, чем актуально бесконечное деление всей линии на бесконечное число атомов. Хотя и при статическом понимании разумно говорить о таком делении только относительно четырехмерного пространства-времени. Если так, то любая линия — это совокупность мгновенных перемещений одного атома вдоль линии времени как одной из координат четырехмерного пространства-времени. Это очень легко представить, но невероятно сложно понять и поверить в это.

Представьте себе линию, где атом оставил при движении свой след. Совокупность этих следов и даст совокупность точек, составляющих линию. Теперь надо представить, что это не следы, а сам атом. Так получается не совокупность точек-следов, а совокупность мгновенных положений атома. Если мы останемся па точке зрения следа от атома, то не покинем пределы потенциальной бесконечности с отдельным трехмерным пространством и отдельным временем. Зато если представим, что в каждой точке у нас пребывает сам атом, то попадем в епархию актуальной бесконечности.

Итак, линия атомизма — это рядоиоложснность мгновенных положений одного и того же атома, данная сразу и целиком. Таким способом атомизм дает свое понимание движения. В движении даны сразу и начало, и середина, и конец, т. е. нет начала движения и нет конца. Нет выхода из пункта А и нет прибытия в пункт В, движение атомизма есть сразу и выход из пункта А, и прибытие в пункт В. Прошлое, настоящее и будущее в четырехмерном мире существуют вместе и сразу. Поэтому актуальное бесконечное деление — это способ существования четырехмерного пространствавремени, способ существования прошлого, настоящего и будущего сразу. Получается, что вне нас мир существует сразу и в прошлом, и в настоящем, и в будущем.

Так возникает ряд натуральных чисел, как его впоследствии понимал Кантор в рамках своей теории множеств. Это первое бесконечное множество:

Второй ряд единиц показывает величину мгновенной скорости (мгновенного перемещения) данного атома.

Теперь необходимо подробнее остановиться на отличии атомистического понимания равномерного движения от перипатетического и картезианского понимания. «Движением равномерным или единообразным я называю такое, при котором расстояния, проходимые движущимся телом в любые равные промежутки времени, равны между собой. К существовавшему до сего времени определению (которое называло движение равномерным просто при равных расстояниях, проходимых в равные промежутки времени) мы прибавили слово „любые“, обозначая тем какие угодно равные промежутки времени, так как возможно, что в некоторые определенные промежутки времени будут пройдены равные расстояния, в то время как в равные же, но меньшие части этих промежутков пройденные расстояния не будут равны»^[2].

Именно в этих словах устанавливается атомистический подход. Ибо Галилей вводит взаимно однозначное соответствие между мгновениями времени и мгновенными скоростями. Атомизм обязан устанавливать эти соответствия. Такое понимание существенно отделяет атомизм от традиции материального эфира. Ибо Аристотель и Декарт вводят понятие равномерного движения. И они это делают как раз без добавления слова «любые». Ведь они не признают актуально бесконечного деления.

Актуально бесконечное деление атомизма описывается бесконечной прямой линией с равнорасположенными временными положениями атома, составляющими континуум натурального ряда чисел. Этот континуум выражается простейшим неопределенным интегралом dx = х. Здесь следует сделать важное пояснение. Атомизм рассматривает dx как точку-атом. Именно этот атом своим движением порождает линию. В атомизме речь идет о течении неделимого. Атом при этом течении обладает мгновенной скоростью. Если мгновенная скорость постоянна, то речь идет о равномерном движении. При таком движении путь нарастает как натуральный ряд чисел, т. е. как х, пробегающий значения 0, 1,2,… .

Совсем иначе описывает интеграл jdx = x традиция материального эфира. Для математического анализа лейбницевского типа dx не является бесконечно малым неделимым атомом. Ведь атомы не существуют для этой традиции. И dx понимается как бесконечно малая разность между двумя рядоположенными точками на линии, т. е. dx является не точкой, а бесконечно малым кусочком линии, полученным на одном из этапов потенциального бесконечного деления. Лейбниц понимает dx как метафизическую монаду, а не как протяженное нечто, ибо dx следует рассматривать как стремящуюся к нулю протяженность. А сумма нулей не может породить нечто конечное самостоятельно. Отсюда устойчивая позиция в философии материального эфира на отказ от признания субстанциальности протяженности и телесности. Сами тела после Лейбница являются порождением духовной активности монад, бога, трансцендентального субъекта, абсолютной идеи и т. д.

Теперь перейдем к рассмотрению равноускоренного движения в рамках атомистической концепции.

После актуально данного континуума натуральных чисел, но Галилею и Кантору, следует множество квадратов натуральных чисел. Это бесконечное множество, и ему соответствует равноускоренное движение. Эго другой способ бесконечного деления линии. Равномерное движение делит линию на равные части. При равноускоренном движении эти части уже не будут равны — они составят бесконечную арифметическую прогрессию мгновенных скоростей. Нарастание мгновенной скорости атома будет соответствовать ряду нечетных натуральных чисел, причем этот ряд будет также дан актуально и сразу. Так возникает второй простейший континуум Галилея и Кантора:

Первый ряд — это значение интервала на оси времени в четырехмерном пространстве-времени. Второй ряд — это величина нарастания скорости движения атома в рамках подобного актуально бесконечного деления линии. Третий ряд — это величина ускорения dx.

Теперь следует дать физическую интерпретацию равноускоренного движения. По Галилею, это свободное падение атома в пустоте под действием притяжения. Галилей говорит о взаимодействии двух атомов, при котором происходит взаимное притяжение. Если при этом мысленно сделать один из атомов точкой отсчета, то движение второго атома иод действием притяжения опишет ряд квадратов натуральных чисел. Как уже выше было сказано, гак получается второй вид актуально бесконечного деления. Опять же используем образ совокупности мгновенных положений атома, данных рядоположенно сразу. Итак, внутри линии в четырехмерном пространствевремени даны все временные положения атома. Расстояния между этими положениями увеличиваются пропорционально времени и составляют арифметическую прогрессию.

Изменение расстояния между временными положениями атома соответствует произведению xclx, где dx — это единичное расстояние между временными положениями атома при равномерном движении, ах — это переменная, пробегающая ряд натуральных чисел. Таким образом, можно выразить равноускоренное нарастание расстояния между временными положениями атома на актуально разделенной линии в четырехмерном пространстве-времени.

Равноускоренное движение (свободное падение) описывается с помощью второго закона Ньютона — Галилея: «Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует»¹. В формулу этого закона входит ускорение, причем ускорение должно быть константой, чтобы получилось равноускоренное движение свободного падения. Ускорение отражает изменение скорости в рамках четырехмерного пространства-времени.

Далее Галилей вводит важнейшее соотношение между двумя видами актуальной бесконечности: между континуумом натуральных чисел и континуумом квадратов натуральных чисел. Это соотношение выражается интегралом J xcbc = ~^х'²-

Галилей это выразил так: «Теорема I. Предложение I. Время, в течение которого тело, вышедшее из состояния покоя и движущееся равномерноускоренно, проходит некоторое расстояние, равно времени, в течение которого это же расстояние было бы пройдено тем же телом при равномерном движении, скорость которого равняется половине величины наибольшей конечной скорости, достигаемой при первом равномерно ускоренном движении»^[3][4].

Дадим необходимые пояснения. Проведем сравнение равномерно нарастающего ряда чисел: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,… и ряда натуральных чисел-констант: 6, б, 6, 6, 6, 6, 6. Первый ряд характеризует движение со скоростью, которая каждое мгновение увеличивается на единицу. Это равноускоренное движение, где х пробегает ряд чисел от нуля до бесконечности (0, 1, 2, 3, 4 и т. д.). Ряд из чисел-констант представляет собой равномерное движение с константной, постоянной скоростью, например 6, 6, б, 6, 6, 6, б. Интегрирование подразумевает суммирование чисел. Итак, суммируем первый ряд: 0 + + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, теперь суммируем второй ряд: 6 + 6 + 6 + 6 + + 6 + б + 6 = 42. Получаем совершенно очевидный результат, что первый ряд есть половина второго (21 есть половина 42). Именно этот результат.

Галилея был позднее зафиксирован в интеграле jxdx — —х². Такое арифметическое описание основных интегралов математического атомизма дал знаменитый новоевропейский математик Джон Валлис. «Валлис рассматривал поверхности или тела как алгебраические суммы элементарных частей»².

Физически это значит, что при равноускоренном движении тело пройдет половину расстояния, которое оно бы прошло, если бы двигалось равномерно с максимальной скоростью. Для нашего примера эта скорость равняется 6. Но элементарные арифметические подсчеты показывают, что эта закономерность справедлива для любого ряда равномерно нарастающих чисел и соответствующего ему ряда чисел-констант. Геометрически этот факт выражается с помощью сравнения квадрата и его половины, отрезанной диагональю. Сам квадрат есть равномерное движение с постоянной скоростью. А половина есть треугольник из отрезков длиной 1, 2, 3,4 и т. д., которые прикладываются вниз друг под другом и образуют прямоугольный треугольник. Этот треугольник и соответствует половине квадрата, что опять иллюстрирует интеграл jxdx — -^х².

Галилей давал также геометрическую иллюстрацию данного положения. Это делалось следующим образом. Время движения представлялось стороной АВ треугольника АВЕ и прямоугольника ABGF. Все моменты скорости выражались через отрезки, параллельные BE. Площади этих фигур соответствовали пройденным путям. Доказательство теоремы, но Галилею, вытекало из сравнения площадей (рис. 1.27).

Рис. 1.27.

Такое сравнение двух актуальных бесконечностей привело Галилея к необходимости рассматривать атомистические парадоксы, которые к этому времени уже имели очень долгую историю. Галилей столкнулся с одним из ключевых парадоксов бесконечности, согласно которому часть оказывается равна целому. К этому результату Галилей пришел, сравнивая ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. с рядом квадратов натуральных чисел I², 2², З², 4², 5² и т. д.

Достаточно очевидно, что каждому натуральному числу будет соответствовать его квадрат. Например, числу 1 соответствует число 1, числу 2 соответствует число 4, числу 3 соответствует число 9 и т. д. Получается, что количество чисел в ряду натуральных чисел равно количеству чисел в ряду квадратов, ибо имеем взаимно однозначное соответствие. Но в то же время все квадраты (числа 1, 4, 9, 16 и т. д.) входят в ряд натуральных чисел как его меньшая часть.

Парадокс заключается в том, что ряд 1, 2, 3, 4, 5,… и ряд 1, 4, 9, 16, 25, … по количеству чисел равны и в то же время относятся друг к другу как целое к части. Туманные объяснения Галилея никого, включая и его самого, убедить не смогли. В конце концов Галилей признал, что «свойства равенства, а также большей и меньшей величины не имеют места там, где дело идет о бесконечности, они применимы только к конечным количествам»¹.

Галилей берет теперь следующий вид актуального деления прямой линии. Теперь расстояния между временными положениями атома на прямой в четырехмерном пространстве-времени будут нарастать как кубы натуральных чисел:

Первая строчка числового ряда означает расстояния, вторая — скорость, третья строчка — ускорения. Четвертая строчка соответствует третьей производной. Галилей опять же пытается свести два вида актуальных бесконечностей: ряд кубов натуральных чисел и ряд квадратов натуральных чисел. Это оказывается возможным, но уже совсем не так красиво, как для квадратов натуральных чисел. Действительно, получается интеграл 1.

вида jx²dx = — х³, что позволяет выражать такого рода равноускоренное 3.

движение (расстояния растут как кубы натуральных чисел) через ряд квадратов натуральных чисел.

Чтобы вскрыть проблему, попробуем посмотреть, как здесь действует арифметический аппарат Валлиса, уже применявшийся нами выше. Итак, ход рассуждений аналогичен случаю с квадратами. Производится суммирование двух рядов чисел. С одной стороны, имеем ряд квадратов последовательных натуральных чисел: О², I², 2², З², 4² и т. д., а с другой — суммируется ряд квадратов максимального числа из вышеприведенного ряда, например 4², 4², 4², 4², 4². Произведем поэтапно несложные математические вычисления, которые с очевидностью покажут, что с точностью придется распрощаться:

Итак, при вычислениях всегда будут получаться остатки (-,—,—,—, —, ^F … 6 12 18 24 30.

…), которые, правда, все время монотонно уменьшаются, но никогда не будут равны нулю. Валлис так высказывался об этих остатках: «При возрастании числа членов этот избыток сверх трети непрерывно уменьшается, так что, наконец, станет, очевидно, меньше всякого, какой только можно назначить, а при продолжении до бесконечности совсем исчезнет»^[5]. Галилей, желая выйти из этой ситуации и отвергнуть обвинения в приблизительности математического атомизма, заявлял, что точность достигается только при признании актуальной бесконечности. Очевидно, что таким способом можно получить не только актуально бесконечное множество кубов натуральных чисел, но и четвертых степеней натуральных чисел, пятых и т. д.

Теперь покажем, как вычисления, приводящие к тому же самому интегралу, проводил знаменитый ученик Галилея Б. Кавальери.

Сам Галилей готовил трактат о неделимых, т. е. о математических атомах. Но этот трактат так и не увидел свет. Возможно, что основные положения этого трактата были опубликованы именно Кавальери, которому Галилей по уже не имеющим значения причинам уступил право публикации метода неделимых. Итак, проиллюстрируем нахождение интеграла.

x²dx = — х³ геометрически (рис. 1.28).

Рис. 1.28.

Вычисление интеграла от х² у Кавальери, который не применял новый алгебраический аппарат, было чисто словесным и довольно громоздким. Он вводит наряду со «всеми линиями» фигуры «все квадраты» на этих линиях и доказывает, что все квадраты параллелограмма относятся ко всем квадратам любого из треугольников, образуемых его диагональю, как 3:1. Если обозначить сумму квадратов линий фигуры ?, то рассуждение Кавальери можно передать следующим образом: «Пусть ЛВ = ВС, СН = HG, BF || CG и за регулу принята EG, так что «все линии», как RV, параллельны EG. Поскольку RT² + TV² = 2 RS² + 2 ST², то, смещая RV из положения Л С в EG, имеем.

или С = YAF + 2Y.BMC.

Далее по одному из следствий 22-й теоремы суммы всех квадратов двух подобных треугольников относятся как кубы сходственных сторон, так что YjBMC = 1/8^АЕС. Кроме того, ^AF- ¼^AG. Следовательно, YA G:: %АЕС = 3: 1.

В переводе на наш язык этот результат можно выразить формулой.

a _a3.

или jx²dx —-«*.

o 3.

Таким образом, несмотря на парадоксы бесконечного, атомизм строит множество бесконечных континуумов в четырехмерном пространстве-времени. Причем все континуумы, описывающие различные виды равноускоренного движения, можно свести к континууму натуральных чисел, т. е. к равномерному движению. Но это, очевидно, самые простые виды континуумов. Атомизм построил пока только прямые линии с одинаковыми или нарастающими расстояниями между временными положениями атома в четырехмерном пространстве-времени. Теперь динамике атомизма надо показать, как возможно построить любые кривые линии. А начать надо с простейших кривых линий — конических сечений. И такое построение дается на примере движения снаряда по параболе.

Галилей производил суммирование двух взаимно перпендикулярных движений: инерционного прямолинейного движения снаряда по горизонтали и свободного падения снаряда по вертикали. Этот метод называется методом сложения скоростей, или методом сложения движений. Приведем небольшую математическую выкладку, которая полностью охарактеризует метод сложения скоростей.

Берем систему двух уравнений.

где g/(2v²) — это константа.

На этом примере хорошо видно, как объединяются два элементарных движения в одно сложенное и сложное движение. Оба элементарных движения происходят в четырехмерном пространстве-времени. И при сложении они порождают такое же четырехмерное движение. Получается актуальное бесконечное деление кривой (параболы) на временные положения атома. Но теперь это актуальная бесконечность оказывается более сложной, ибо пустоту между временными положениями атома характеризует не только расстояние, но и изменение направления. Эго изменение направления задействует два пространственных измерения в четырехмерном пространстве-времени. До этого была использована только координата времени и одна пространственная координата, позволяющая описать пространственную составляющую прямой линии. Если же будут суммироваться не два, а три разнонаправленных движения, то будут задействованы все четыре измерения в четырехмерном пространстве-времени.

• [1] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М., 1989. С. 39.
• [2] Галилей Г. Избранные труды. Т. 2. М., 1964. С. 234.
• [3] Галилей Г. Указ. соч. Т. 2. С. 248.
• [4] Випайтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., 1960.С. 109.
• [5] Хрестоматия по истории математики / под ред. А. П. Юшкевича. М., 1977. Т. 2. С. 55.