Древний Египет и Вавилон

Положения математики атомизма в Древнем Египте и Вавилоне уже были изложены выше. Сейчас настала очередь изложить математику материального эфира этих цивилизаций. Начнем с ключевой цитаты Диогена Лаэртского: «Египтяне в своей философии рассуждали о богах и справедливости. Они утверждали, что началами всего является вещество, из него выделяются четыре стихии и в завершение являются всевозможные живые существа»^[1]. Эта фраза является основополагающей для двух математических традиций: традиции материального эфира и традиции математических первоэлементов. Эта глава будет посвящена традиции материального эфира.

Основная задача этого параграфа заключается в том, чтобы показать наличие алгебраических методов в математическом наследии Древнего Египта и Вавилона. Необходимо отобрать материал, который не относится к математическому атомизму. Это относительно легко сделать. Более существенной является проблема разведения евклидовой геометрии и алгебры материального эфира.

В алгебраическую традицию очень часто включают методы евклидовой геометрической алгебры. Эти методы охватывают, как правило, вопросы решения уравнений первой и второй степени. Но суть расхождения этих двух традиций не в степенях решаемых уравнений. Алгебраические методы решают вопросы физического перемещения эфира, а евклидова геометрия рассматривает построение кристаллических решеток телесных объемов. Поэтому с формальной точки зрения одно и то же уравнение может относиться сразу к обеим традициям. Следовательно, и разделение математического материала может оказаться весьма условным.

Для разделения двух алгебраических традиций приведем очень важную цитату Нейгебауэра, где он специально подчеркивает различие двух традиций: «Прежде всего легко показать, что геометрические понятия играют весьма второстепенную роль в вавилонской алгебре, как бы широко ни употреблялась геометрическая терминология. Достаточно сказать о существовании примеров, в которых площади и длины складываются или площади умножаются, что исключает какую-либо геометрическую интерпретацию в духе Евклида, которая кажется нам столь естественной»^[2].

Далее Нейгебауэр приводит примеры задач, которые полностью игнорируют реальную интерпретацию. Их авторов интересовали только алгебраические соотношения. Они совершенно не обращали внимания на то, что при решении могло получиться два с половиной рудокопа.

Сделаем еще дополнительные разъяснения касательно геометрической формы алгебраических уравнений: «В этих задачах данными и искомыми являются „чистые“ числа. Правда, искомые числа часто именуются „длиной“ и „шириной“, а произведение их — „площадью“. Но что эго лишь термины, связанные с прямоугольником не в большей мере, чем наш термин „квадрат“ (в смысле произведения двух равных чисел) связан с геометрическим квадратом, видно хотя бы из того, что сплошь и рядом площади прибавляются к длинам и ширинам, что является абсурдным с геометрической точки зрения»^[3]. Эта цитата еще раз подчеркивает различие алгебраических методов в стиле Диофанта от их возможной геометрической интерпретации.

Причем иногда геометрическая интерпретация может облегчить решение и понимание диофантовых решений, а иногда такая геометрическая интерпретация просто невозможна. «Конечно, при желании непременно видеть во всех таких задачах задачи геометрические, можно „подразумевать“ умножение на единицу, толкуемую как отрезок, повышающий размерность того или иного члена»^[4]. Кстати, так делал Декарт в XVII в., чтобы оградить себя от поборников геометрической однородности величин. Но это лишь уловка. Ведь эти методы предназначены для чего-то совсем другого, не для описания построения правильных многогранников. Это методы описания движения материального эфира. Именно для этого они использовались в Новое время, особенно явно они проявились в математике, физике и философии того же Декарта.

Характерной особенностью вавилонской алгебры является исследование уравнений, которые сейчас называются неопределенными. В древности такие уравнения в систематическом виде появились в трудах Диофанта.

Причем неоднократно упоминалось о восточном влиянии на диофантово исчисление. Это относилось как к линейным уравнениям, содержащим три неизвестных, так и к неопределенным квадратным уравнениям. Рассмотрим неопределенные квадратные уравнения вавилонской алгебры. К квадратным уравнениям может быть сведена система уравнений.

Это наиболее часто встречающаяся форма квадратного уравнения в древневавилонской математике. Для ее решения используются подстановки, явно напоминающие более поздние диофантовы подстановки:

«Это дает (р/2)^[5][6] — z^[6] = ху = q, откуда 2 = ^{после чего с}Р^азУ находятся х_у у. Этот ход решения предполагал знакомство с тождеством (iа + b)(a — b) = о^[6] — Ь^[6] … Эта реконструкция вполне совпадает с методами Диофанта»¹. Приведем большую цитату М. Я. Выготского, касающуюся связи Диофанта и древневавилонских методов: «У Диофанта мы находим именно такое решение задачи более общего типа: по дайной сумме и произведению чисел найти эти числа. Решение проведено на числовом примере, с обычным для Диофанта выражением всех неизвестных через один параметр; этот параметр и его степени имеют символическое обозначение, и операции над выражениями, содержащими эти символы, выполняются, но существу так же, как выполняем их и мы. Время жизни Диофанта нам неизвестно в точности. Обычно его относят к III веку н.э. Но во всяком случае он жил не ранее, чем во II в. до н.э. Таким образом, влияние вавилонской математики на него не может быть исключено»^[6].

В качестве примера М. Я. Выготский приводит задачу 27 книги 1 «Арифметики» Диофанта. На нескольких страницах М. Я. Выготский на примерах обосновывает параллели между вавилонской алгеброй и диофантовыми методами. Конечно, этих цитат недостаточно для доказательства единства между механическим эфиром XVII—XIX вв., методами Диофанта, древ;

невавилонской алгеброй и гипотетической математикой «первых поколений». Но какие-то аналогии проглядываются вполне определенно.

Вернемся опять к вавилонской алгебраической традиции. Квадратные неопределенные уравнения могут встречаться и в евклидовой традиции, например теорема Пифагора. Но Нейгебауэр приводит уравнения более высоких порядков, которые явно не нужны при построении правильных многогранников: «Из тех же сборников мы знаем серии примеров, эквивалентных типам уравнений четвертого и шестого порядка. Обычно эти задачи легко сводятся к квадратным уравнениям для х^[6] или х³, но встречаются также примеры, приводящие к более общим уравнениям 5-го и 3-го порядка. В последних случаях для нахождения численного решения, но-видимому, пользовались таблицами для п² + п³, но наши источники слишком отрывочны, чтобы дать последовательное описание процедуры, применявшейся в случаях, которые не сводятся к квадратным уравнениям»^[12][13].

Нейгебауэр утверждает, что вавилонская алгебра занимается уравнениями шестой и даже восьмой степени. Это полностью соответствует будущей диофантовой алгебраической традиции, которая использовалась для описания движения материального первовещества — эфира. «На одной из табличек, найденных в Сузе, имеется даже задача восьмой степени, тогда как до сих пор в вавилонских материалах встречались только шестые степени»². В задаче используется геометрическая терминология, но это лишь форма выражения. В примере требуется найти стороны х и у такого прямоугольника, что ху = а и x³d = b_y где аиЬ — числа, a d — диагональ прямоугольника. Это эквивалентно, по Нейгебауэру, квадратному уравнению для х⁴. Приведем запись этого уравнения: х⁸ + а²х⁴ = Ь².

Итак, для чего же создана эта вавилонская алгебра, столь отличная от геометрии первоэлементов? Ответ должен быть вполне определенный — это описание движение первовещества, которое по перипатетической и стоической традициям следует назвать материальным или вещественным эфиром. Этот эфир образует движение небесных сфер идеального космоса. Но сейчас люди не могут наблюдать идеальный космос. Нам предоставлена возможность наблюдать движение небесных тел только нашего мира. А этот наш мир являлся несовершенным образцом для творения совершенного идеального космоса.

Закономерности движения нашего мира хотя бы частично повторяют закономерности движения так называемого горнего мира. При некоторой идеализации движений нашего мира можно получить слабое подобие совершенных движений. В главе, посвященной атомизму, рассказывалось о двух типах представления движения небесных объектов (Л и В). Тип А связан с равномерным и непрерывным движением, например, Солнца на определенных, достаточно больших участках. И вот такое движение подобно круговращению материального эфира, и такое движение должно быть описано вавилонской алгеброй.

Вся алгебраическая традиция материального эфира посвящена описанию движений этого эфира как описанию траекторий. Даже вавилонская шестидесятеричная система исчислений связана с движением материального эфира. Ведь именно движение материального эфира заставляет двигаться Солнце. Это движение Солнца оказывается циклично и в идеальном состоянии равно 360 дням, а из-за несовершенства нашего мира приходится делать вставку еще в пять дней. И даже это оказалось недостаточно точно. Но это не смущало древних вавилонян, ведь они знали, что совершенство присуще другому миру — идеальному космосу.

«У вавилонян надо искать источник употребляемого еще и в настоящее время деления окружности согласно шестидесятеричной системе на градусы, минуты и секунды. Деление на 360° (= 2³ • З² • 5) связано, может быть, с тем, что в древнейшие времена год считали равным 360 дням. Что же касается распространения этого шестидесятеричного деления, то оно могло зависеть отчасти от того же самого факта, отчасти от выгод, представляемых системой, основное число которой 2² • 3 • 5, состоящее из наименьших первых чисел, содержит в себе в качестве множителей значительное количество небольших чисел. Найдено доказательство планомерного употребления этой числовой системы в надписях, содержащих таблицы квадратных чисел до 60² и кубических до 32³, написанных шестидесятеричным образом; надписям этим несколько тысяч лет»^[14].

• [1] Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. Философское наследие. М.: Мысль, 1986. С. 57.
• [2] Нейгебауэр О. Указ. соч. С. 56.
• [3] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 191.
• [4] Там же.
• [5] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 49.
• [6] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 194—195.
• [7] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 194—195.
• [8] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 194—195.
• [9] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 194—195.
• [10] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 194—195.
• [11] Выготский М. Я. Указ. соч. С. 194—195.
• [12] Нейгебауэр О. Указ. соч. С. 58.
• [13] Там же. С. 61.
• [14] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 23—24.