Арифметические книги «Начал» Евклида

Седьмая книга «Начал» является приложением общей теории пропорций, изложенной в пятой книге, к целым числам. Евклид продолжает восхождение к своей главной цели — построению пяти правильных многогранников. А для этого ему надо построить теорию сначала соизмеримых величин, а затем, что более важно, несоизмеримых величин, ибо без несоизмеримых величин нельзя будет построить соотношение между стороной правильного многогранника и радиусом описанной сферы. Поэтому седьмую книгу следует считать просто частным случаем пятой книги, так же как и шестую книгу.

Цейтен же считает, что седьмая книга является архаичной частью «Начал». «Седьмая книга содержит в применении к целым числам ряд теорем о пропорциях, доказанных со всей общностью уже в пятой книге. Объясняется это тем, что общая теория пропорций, изложенная в пятой книге, была еще слишком нова и недостаточно поэтому развита, чтобы ее можно было положить в основу всего, что она охватывает в действительности. Благодаря этому сохранившееся в седьмой книге учение о пропорциях представляет образец более старого подхода к вопросу, когда еще не учитывали возможности того, что члены отношений могут быть несоизмеримыми»^[1].

Итак, седьмая книга посвящена теории соизмеримых величин. Соизмеримыми являются величины, которые можно измерить. Для процесса измерения необходимо ввести единицу измерения. Это и делается Евклидом в определении 1 книги 7: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым»^[2]. Единица есть платоновское единое в сфере математики. Это понимание продолжает пифагорейскую традицию представления о едином как монаде.

Единица — это первичное понятие как для соизмеримого, так и для несоизмеримого, ибо она мера и для того и для другого. Ведь несоизмеримое определяется именно как-то, что нельзя измерить единицей. Но единицу нельзя понимать как неделимое в смысле атома. Единица есть то, что имеет величину, но не имеет частей, ибо оно едино. И именно в этом смысле она неделима. Но единица должна быть рассмотрена в рамках потенциальной бесконечности. При этом надо постоянно помнить, что из единиц будут складываться числа. В этом смысле она будет очевидно отличаться от точек, из которых, по Евклиду, линии не складываются.

Понятие о числе Евклид вводит в определении 2 книги 7: «Число же — множество, составленное из единиц»^[3]. Число как множество четко противопоставляется Евклидом единице как единству. Каждое число состоит из единиц, которые являются частями внутри данного числа. «Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет большее»^[3].

Далее Евклид начинает раскрывать понятие о числе через четные и нечетные числа. Четным числом он называет такое число, которое делится пополам. В отличие от четного числа нечетное не делится пополам или отличается на единицу от четного. О роли четных и нечетных чисел говорилось выше в главах, посвященных пифагорейцам. Определение 12 книги 7 вводит понятие простого числа. Евклид называет простое число первым числом. Вот как звучит определение первого числа: «Первое число есть измеряемое только единицей»^[5].

Простые числа оказываются очень важны для математики именно потому, что они выступают как средство измерения составных чисел. Простое число оказывается наибольшей общей мерой составных чисел. В этом смысле простые числа являются подобием единицы, поэтому они так важны для математики с метафизической точки зрения.

В седьмой книге Евклид впервые вводит умножение, причем умножение вводится только для чисел. Эту операции он не применяет для геометрических величин. Умножение поясняется в определении 16 книги 7: «Говорят, что число умножается на число, когда сколько в нем единиц, столько раз составляется умножаемое и что-то возникает»^[3].

До этого говорилось только о двумерных фигурах, состоящих из двух сторон. Здесь же Евклид вводит квадратное число, которое он называет равноравное или объемлемое двумя равными числами. Квадратное число является частным случаем плоскостного числа, стороны которого суть перемножаемые между собой числа. Также рассматривается и кубическое число как частный случай телесного числа. «Кубическое же — равным равноравное или объемлемое тремя равными числами»^[7].

В определении 21 книги 7 Евклид распространяет пропорциональность на числа. Это определение звучит так: «Числа будут пропорциональными, когда первое от второго, а третье от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или теми же „частями“»^[3]. Последнее определение седьмой книги касается совершенных чисел, о которых также рассказывалось в главе о пифагорейцах.

Предложения седьмой книги более подробно раскрывают свойства чисел, введенные в определениях. Первые восемь предложений подробно рассматривают вопросы нахождения общей меры, а также возникающие при этом вопросы суммирования и отнятия частей. Предложения 9—15 книги 7 излагает теории пропорции применительно к числам. Здесь подробно рассматриваются различные соотношения между числами внутри пропорции. Предложения 17—18 книги 7 разворачивают различные свойства умножения чисел.

Затем приводятся два предложения, которое окончательно достраивают теорию пропорций для чисел. Это предложение 19 книги 7: «Если четыре числа пропорциональны, то возникающее из первого и четвертого число будет равно возникающему из второго и третьего числу; и если возникающее из первого и четвертого число равно возникающему из второго и третьего, то четыре числа будут пропорциональны»^[9] и предложение 20 книги 7: «Числа, наименьшее из имеющих то же самое отношение с ними, равное число раз измеряют имеющие то самое отношение числа, причем большее измеряет большее, а меньшее — меньшее»^[10].

Затем следуют двенадцать предложений, которые характеризуют различные свойства простых (первых) чисел. Начиная с предложения 33 книги 7 Евклид рассматривает наименьшие числа и части. В предложениях 37 и 38 книги 7 вводится понятие о соименных частях. Это понятие используется при доказательстве последнего предложения книги 7 — предложения 39: «Найти число, которое, будучи наименьшим, имеет заданные части»^[11].

Восьмая книга «Начал» Евклида посвящена изучению различных свойств непрерывной пропорции. «Непрерывные пропорции, о которых говорится в восьмой и девятой книгах, представляют, как мы уже сказали, древнюю форму геометрических прогрессий, но с целыми членами; отношение между членами, занимающими различные места в таком ряду, представляют древнюю форму различных степеней целых чисел и дробей. Некоторые теоремы о корнях являются результатом вставки средних пропорциональных»^[12].

Первые четыре предложения продолжают пояснять свойства наименьших чисел, которые подробно уже разбирались в седьмой книге. Но теперь эти свойства рассматриваются применительно к непрерывной пропорции. Затем идет предложение 5 книги 8 «Плоскостные числа имеют друг к другу отношение, составное из отношений сторон»^[13]. После этого Евклид начинает подробное перечисление различных свойств непрерывной пропорции через соотношение членов внутри нее.

Начиная с одиннадцатого предложения вводится рассмотрение свойств квадратных и кубических чисел в рамках непрерывной пропорции. Предложение 11 книги 8 звучит следующим образом: «Для двух квадратных чисел существует одно среднее пропорциональное число, и квадрат к квадрату имеет двойное отношение стороны к стороне»^[14], а предложение 12 книги 8 — «Для двух кубических чисел существуют два средних пропорциональных числа, и куб к кубу имеет тройное отношение стороны к стороне»^[15].

После перечисления свойств квадратных и кубических чисел Евклид рассматривает более общие свойства плоскостных и телесных чисел в рамках непрерывной пропорции.

Тот же предмет рассмотрения сохраняется и в первых десяти предложениях девятой книги. Евклид подробно разбирает новые соотношения квадратных, кубических, плоскостных и телесных чисел. На основе этих новых свойств доказываются новые соотношения внутри непрерывной пропорции. Все это позволяет доказать известнейшее предложение 20 книги 9: «Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел»^[16], т. е. количество простых чисел бесконечно.

После этого до предложения 35 книги 9 идет подробное рассмотрение свойств четных, нечетных, четно-нечетных и четно-четных чисел. И девятая книга заканчивается доказательством предложений 35 и 36. Предложение 35 книги 9 звучит так: «Если будет сколько угодно последовательно пропорциональных чисел и от второго и последнего будут отняты числа, равные первому, то будет, что как остаток второго к первому, так и остаток последнего ко всем ему предшествующим вместе»^[17].

Последнее предложение девятой книги уже приводилось в главе, посвященной пифагорейцам. Тем не менее сделаем это еще раз: «Если от единицы откладывается сколько угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении, до тех пор пока вся их совокупность сложенная не сделается первым числом и вся совокупность, умноженная на последнее число, произведет что-то, то возникающее число будет совершенным»^[18]. Все предложения предыдущих трех арифметических книг во многом приводились именно ради доказательства этого положения о совершенных числах.

• [1] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 110.
• [2] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 9.
• [3] Там же.
• [4] Там же.
• [5] Там же. С. 10.
• [6] Там же.
• [7] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 10.
• [8] Там же.
• [9] Там же. С. 25.
• [10] Там же. С. 26.
• [11] Там же. С. 41.
• [12] Цейтеп Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 112.
• [13] Евклид. Начала. Книги VII—X. С. 48.
• [14] Там же. С. 54.
• [15] Там же. С. 55.
• [16] Там же. С. 89.
• [17] Там же. С. 97.
• [18] Там же. С. 98.