Аналитические методы решения задачи линейной вязкоупругости

Прямой (символический) метод Вольтерры. Применение этого метода возможно в том случае, когда время входит только в физические соотношения или граничные условия, когда материал является однородным.

При выполнении этих условий имеет место коммутативность (переставимость) операций по времени и координатам, которая и лежит в основе рассматриваемого метода.

Линейное наследственное уравнение.

можно записать в символической форме применив временной оператор над функцией/ вида.

Сравнивая выражения (5.18) и (5.19), можно заключить, что уравнения линейной вязкоупругости (5.18) записываются аналогично уравнениям статической теории упругости (2.3), только модули упругости заменяются соответствующими временными операторами.

Уравнение.

тоже может быть записано в операторной форме. Если ввести обозначение.

то уравнение (5.20) примет вид.

Формально решая уравнение (5.18) относительно е_х и сравнивая его с уравнением (5.21), установим, что.

Таким образом, введено правило деления на оператор. Аналогично определяются и остальные алгебраические действия над этими операторами.

Итак, согласно методу Вольтерра решение задачи линейной вязкоупругости получается из решения соответствующей задачи теории упругости заменой упругих констант материала соответствующими временными операторами.

В общем случае при использовании метода Вольтерра получаются выражения, в которые входят алгебраические или трансцендентные функции временных операторов, расшифровка которых очень сложна.

Относительно просто решается задача линейной вязкоупругости тогда, когда решение соответствующей задачи теории упругости представлено в виде произведения рациональной функции упругих констант на функцию от координат.

Наконец, если решение соответствующей задачи теории упругости или его часть (например, поле напряжений) не содержит упругих констант материала, то оно остается справедливым и для случая линейной вязкоупругости.

Метод интегральных преобразований. Этот метод является одним из основных аналитических методов при решении задач линейной вязкоупругости. Его применение возможно, если время входит только в физические соотношения, граница тела Fи граница между областями F_a и /у не меняются в процессе нагружения.

В основе метода лежит интегральное преобразование Лапласа — Карсона или интегральное преобразование Лапласа.

Остановимся вначале на первом. Из курса высшей математики известно, что изображением Лапласа — Карсона некоторой функции /(/) называется функция вида где р — действительный параметр.

Это преобразование переводит константу в константу, а свертку двух функций L и у, т. е. функцию.

в том случае, если р (0) = 0, переводит в произведение изображений, т. е.

Согласно этому методу для решения задачи линейной вязкоупругости необходимо к системе уравнений (уравнения равновесия, физические и геометрические соотношения) и к граничным условиям применить преобразование Лапласа — Карсона (5.22). Тогда исходная система уравнений будет записана относительно изображений искомых функций в виде.

Сопоставляя эти уравнения с уравнениями теории упругости, можно установить, что они совпадают, если при упругой объемной деформации произвести замены.

Таким образом, для того чтобы найти решение задачи линейной вязкоупругости, необходимо отыскать решение соответствующей задачи теории упругости, записать его в изображениях с соответствующими заменами упругих констант, а затем от изображений необходимо перейти к оригиналам искомых функций. Такова принципиальная схема решения задачи линейной вязкоупругости с помощью интегрального преобразования Лапласа — Карсона, когда физические соотношения приняты в форме (5.12).

Совершенно аналогично будет решаться задача, если физические соотношения принять в иной форме, только в этом случае время удобнее исключать не с помощью преобразования Лапласа — Карсона, а с помощью преобразования Лапласа.

Однако как в том, так и в другом случаях относительно большие трудности возникают при обращении, т. е. при переходе от изображений к оригиналам искомых функций. Для простейших функций построены формулы для нахождения оригиналов, их можно найти в справочниках по операционному исчислению. В более сложных случаях эффективными являются некоторые приближенные методы.

Методы обращения. Метод аппроксимаций А. А. Ильюшина. Очень часто решения задач теории упругости представляют собой достаточно сложные функции от упругих констант материала (Е, G, К, р). Поэтому при решении задач линейной вязкоупругости решение в изображениях также сложным образом зависит от изображений функций ползучести и релаксации, что практически не позволяет осуществить точное обращение.

Идея метода А. А. Ильюшина заключается в предложении приближенно аппроксимировать решение задачи теории упругости такими выражениями, которые впоследствии допускают простое обращение.

Будем считать, что решение задачи теории упругости содержит две константы материала: модуль объемный упругости К и константу со = 2G/(3K).

Другие константы выражаются через эти две следующим образом:

Так как коэффициент Пуассона меняется в пределах.

то из приведенного выражения легко устанавливается область изменения параметра со:

Допустим далее, что на границе тела заданы некоторый силовой (сила, давление) фактор Р и перемещение какой-либо точки и. Тогда решение задачи теории упругости можно представить в символическом виде следующим образом:

где S — искомая силовая величина (например, компонента девиатора напряжений); W — искомое перемещение; с, с₂₂ — некоторые комплексы геометрических размеров и текущих координат.

Если на тело действует несколько силовых факторов и на границе заданы перемещения нескольких точек, то 5 и W получают суммированием решений (5.27).

А. А. Ильюшин предложил функции/иgаппроксимировать выражениями.

Здесь коэффициенты //⁰⁾, Д ^|), Д' g?° g⁽_k °, g_A^(,) являются функциями только геометрических характеристик (размеры тела, текущие координаты) и определяются с помощью какого-либо способа математического приближения (например, способа наименьших квадратов).

С учетом этих аппроксимаций решение задачи теории упругости (5.27) может быть представлено в виде.

Аналогично записывается выражение для W.

Перейдем к рассмотрению задачи линейной вязкоупругости. Будем считать, что физические соотношения представлены в форме (5.12), а объемные деформации, как это часто бывает, являются чисто упругими. Тогда решение задачи линейной вязкоупругости в изображениях получается из решения соответствующей задачи теории упругости заменой 2G —*? R*

1 ' 2G R* 1 1 «.

и — —? П, что соответствует замене со = — —*? — и — = — —" 3КП .

2 G 3 К ЗК со со Таким образом, решение задачи линейной вязкоупругости в изображениях записывается следующим образом:

Аналогично получается выражение для изображения W.

Теперь, учитывая формулы для свертки и ее изображения, получаем обращение 5*, т. е. находим оригинал искомой функции:

С помощью этих методов могут быть найдены поля напряжений, деформаций и перемещений в различные моменты времени. После этого можно приступить к оценке прочности элемента конструкции, выполненного из линейно-вязкоупругого материала.