Проверка значимости и интервальная оценка параметров связи

В практических исследованиях о тесноте корреляционной зависимости между рассматриваемыми переменными судят фактически не по величине генерального коэффициента корреляции р (который обычно неизвестен),.

а по величине его выборочного аналога г. Так как г вычисляется по значениям переменных, случайно попавшим в выборку из генеральной совокупности, то в отличие от параметра р оценка г — величина случайная.

Пусть вычисленное значение г * 0. Возникает вопрос, объясняется ли это действительно существующей линейной корреляционной связью между переменными X и Y в генеральной совокупности или является следствием случайности отбора переменных в выборку (т.е. при другом отборе возможно, например, г = 0 или изменение знака г).

Обычно в этих случаях проверяется гипотеза Я₀ об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности, т. е. Я₀: р = 0 против альтернативной гипотезы Яр р * 0. При справедливости этой гипотезы статистика.

имеет^{-распределение} Стьюдента с k = п — 2 степенями свободы. Поэтому гипотеза Я₀ отвергается, т. е. выборочный коэффициент корреляции г значимо (существенно) отличается от нуля, если^[1]

где t_{__a._k — табличное значение^{-критерия} Стьюдента, определенное на уровне значимости, а при числе степеней свободы k = п — 2.

t> Пример 12.6. Проверить на уровне, а = 0,05 значимость коэффициента корреляции между переменными X и Y по данным табл. 12.1.

Решение. В примере 12.3 вычислен г = 0,740. Статистика критерия по формуле (12.43):

Для уровня значимости, а = 0,05 и числа степеней свободы k = 50 — 2 = = 48 находим критическое значение статистики? q, 95:48 ⁼ 2,01 (см. табл. IV приложений). Поскольку t > ?₀, 95;48> коэффициент корреляции между суточной выработкой продукции Y и величиной основных производственных фондов X значимо отличается от нуля. ?

Для значимого коэффициента корреляции г целесообразно найти доверительный интервал (интервальную оценку), который с заданной надежностью Y = содержит (точнее, «накрывает») неизвестный генеральный коэффициент корреляции р. Для построения такого интервала необходимо знать выборочное распределение коэффициента корреляции г, которое при р*0 несимметрично и очень медленно (с ростом п) сходится к нормальному распределению. Поэтому прибегают к специально подобранным функциям от г, которые сходятся к хорошо изученным распределениям. Чаще всего для подбора функции применяют z-преобразование Фишера.

Распределение г уже при небольших п является приближенно нормальным с математическим ожиданием и дисперсией

Поэтому вначале строят доверительный интервал для M (z):

где ?,__а — нормированное отклонение z, определяемое с помощью функции Лапласа:

При определении границ доверительного интервала для р, г. е. для перехода от z к р, существует специальная таблица. При ее отсутствии переход может быть осуществлен, но формуле:

где th z — гиперболический тангенс 2.

Если коэффициент корреляции значим, то коэффициенты регрессии Ь_ух. и Ь_ху также значимо отличаются от пуля, а интервальные оценки для соответствующих генеральных коэффициентов регрессии P_yv и Р_и/ могут быть получены по формулам, основанным на том, что статистики (6 -(3_;/l) / s_b, (b — Р_и.) / s_h имеют^{распределение} Стыоден га с (п - 2) степенями своооды:

Z-преобразование Фишера может быть применено при проверке различных гипотез относительно коэффициента корреляции.

Например, если поданным выборки объема п вычислен коэффициент корреляции г, то для проверки нулевой гипотезы Я₀ о том, что генеральный коэффициент корреляции р равен значению р₀, т. е. Я₀: р = р₀, используется статистика.

А для проверки существенности (значимости) различия двух коэффициентов корреляции г_х и г₂, полученных по выборкам объемов и, и п₂, т. е. для проверки гипотезы Я₀: р, = р₂, применяется статистика.

При достаточных объемах выборки (больших 10) можно считать, что при выполнении соответствующих нулевых гипотез статистики (12.52) и (12.52') имеют приближенно нормальный закон распределения. Поэтому (см. параграф 10.6) гипотеза Я₀ отвергается на уровне значимости а,

если (при использовании двустороннего критерия) или |f|>?i_2a

при использовании одностороннего критерия).

О Пример 12.7. По данным табл. 12.1 найти с надежностью 0,95 интервальные оценки (доверительные интервалы) параметров связи между суточной выработкой продукции Y и величиной основных производственных фондов X.

Решение. Так как коэффициент корреляции X и Y значим (см. пример 12.5), то построим доверительный интервал для генерального коэффициента корреляции р, применяя 2-преобразование Фишера. По формуле (12.45).

По формуле (12.49) из условия ф (^__а) = 0,95по таблице функции Лапласа находим ?0,95= 1,96. По формуле (12.48) построим доверительный интервал для M (z):

или 0,6646 < М (2) < 1,2364. Находим границы доверительного интервала для р, используя специальную таблицу или формулу (12.50): th 0,6646 < р < th 1,2364 или 0,581 <�р<0,844. В указанных границах на уровне значимости 0,05 (с надежностью 0,95) заключен генеральный коэффициент корреляции р.

Теперь построим доверительные интервалы для генеральных коэффициентов регрессии (3_/ух. и (3_1;/у. Вначале определим средние квадратические отклонения переменных:

Теперь, но формуле (12.51):

или 0,4979 < (3_/ул. < 0,8545. Аналогично по формуле (12.5Г):

При содержательной интерпретации параметров р, р_/уЛ и Р_луу следует считаться в первую очередь с их интервальными (а не только точечными) оценками.

> Пример 12.7а. При исследовании связи между производительностью труда и уровнем механизации работ на предприятиях одной отрасли промышленности, расположенных в двух различных районах страны, вычислены коэффициенты корреляции г_х = 0,95 и г₂ = 0,88 по выборкам объемов соответственно п_{ = 14 и п₂ = 20. Выяснить, имеются ли на уровне, а = 0,05 существенные различия в тесноте связи между рассматриваемыми переменными на предприятиях отрасли в этих районах.

Решение. Проверяемая гипотеза Я₀: pj = р₂. В качестве альтернативной возьмем гипотезу Я₀: pj ^ р₂, т. е. применяем двусторонний критерий. По формуле (12.5Г) с учетом соотношения (12.45) статистика.

Так как t < ?_{0 95} = 1,96, то гипотеза Я₀ не отвергается, т. е. нет оснований считать существенным различие показателей связи между рассматриваемыми переменными на предприятиях двух районов страны. ?

• [1] При использовании одностороннего критерия (в случае альтернативной гипотезыЯ: р > 0 или Я: р < 0) г значим, если |f| >t-2a, n-2-