Координатные системы и геометрические преобразования

В зависимости от характера решаемых задач в машинной графике применяются различные координатные системы: декартова, аффинная, полярная цилиндрическая, сферическая и система однородных координат. Координатная система — это совокупность правил, по которой каждой точке пространства ставится в соответствие набор чисел (координат). Число координат, которые требуются для определения точки, определяет размерность пространства.

В машинной графике, в зависимости от структуры представления изображений и от процесса обработки графических данных, используются различные координаты: абсолютные, относительные, координаты пользователя, мировые, физические и нормализованные [5].

Абсолютной называется координата, определяющая позицию адресуемой точки по отношению к началу заданной системы координат, а относительной — по отношению к некоторой другой адресуемой точке. Координатой пользователя называется координата, заданная пользователем и выраженная в системе координат, не зависящей от конкретных устройств.

Мировой координатой называют независимую от устройства декартову координату, используемую в прикладной программе при задании графических входных и выходных данных. Физической координатой считают координату, заданную в системе координат, которая зависит от устройства.

Нормализованной координатой называют координату, заданную в промежуточной независимой от устройств системе координат и нормированную относительно некоторого диапазона, обычно от 0 до 1. При этом изображение, выраженное в нормализованных координатах, располагается в одной и той же относительной позиции при визуализации на любое устройство.

Нормализованные координаты используются в случае, если область трехмерного пространства, ограниченная кубом, со стороной b отображается в ту же область, ограниченную кубом со стороной b', при этом используется нормирующий множитель h = -р-, делением на который получают нормализованные координаты. Координаты мировой системы иногда приводятся к нормализованному виду. Приборная система координат всегда нормирована. Они обычно задаются в десятичных долях в диапазоне от 0 до 1 или в целых единицах растра экрана дисплея (размер 1024 X 1024 единиц растра). Аффинная и декартова системы координат на плоскости устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками и координатами по следующей схеме. В декартовой системе на плоскости задаются две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу — оси координат, положение произвольной точки Р в плоскости Оху определяется двумя числами (х, у) (рис. 3.4).

В трехмерном пространстве добавляется третья ось Оz, перпендикулярная к плоскости Оху и проходящая через начало координат. Положительным направлением оси Оz принято считать направление движения винта c правой резьбой, который вращается вокруг оси против часовой стрелки от оси Ох к оси Оу (рис. 3.5). Считается, что в этом случае оси правоориентированы. Для нахождения декартовых координат точки Р необходимо путь от О до Я разложить на три взаимно ортогональных отрезка, параллельные осям координат (рис. 3.6), порядок следования отрезков не влияет на конечный результат. Три отрезка ОМ, MN и NP и являются прямоугольными декартовыми координатами точки Р (х, у, г). При нахождении точки Р с другой стороны от плоскости Оуг, чем ось Ох, перемещение ОМ считается отрицательным и координата х имеет знак минус. Отрицательными могут быть также координаты у и г. Координаты можно рассматривать как элементы матрицы в виде вектор-строки [ху] или вектор-столбца.

Если единичные отрезки на осях не равны, система называется аффинной; если они равны, а угол между осями ф Ф 90° — косоугольной декартовой; при равенстве единичных отрезков и прямом угле между осями — прямоугольной декартовой.

Аффинная или декартова система координат называется правой, если совмещение положительной полуоси х с положительной полуосью у осуществляется поворотом оси Ох в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки на угол, меньший я. В противном случае система координат называется левой.

Соответствие между точками трехмерного евклидова пространства и их координатами может быть задано либо радиус-вектором.

где ех, еу, ег — единичные векторы осей, либо матрицами [x, у, г]

В машинной графике широко применяются однородные координаты, которые позволяют n-мерный объект представить в (п + 1)-мерном пространстве, путем добавления еще одной координаты — скалярного множителя. Однородные координаты являются основными в проективной геометрии, в машинной графике они удобный искусственный прием, позволяющий линеализировать перспективные изображения. Однородные координаты дают возможность записывать несобственные (бесконечно удаленные) точки пространства, а также выражать аффинные преобразования в удобной матричной форме, избегая переполнения разрядной сетки ЭВМ за счет нормализации чисел [23].

Определяются однородные координаты следующим образом. Пусть на плоскости заданы система аффинных координат и произвольная точка Р с координатами (х, у). Любая тройка чисел (x1, x2, x3), пропорциональная тройке (х, у, 1), называется однородными координатами точки Р, определенными данной аффинной координатной системой Оху.

Отсюда следует, что однородным представлением точки Р с координатами (х, у) может быть любая тройка чисел, полученная умножением тройки (х, у, 1) на скалярный множитель h (h *f* 0) — (xh, yh, h) и, наоборот, по любой тройке (x1, х2, x3) можно определить прямоугольные координаты (х, у):

Представление трехмерного объекта в четырехмерном пространстве также является однородным представлением, т. е. для точки (х, у, г) ее однородным представлением будет вектор (xh, yh, zh, h).

Операции кадрирования и отсечения. Как отмечалось ранее, изображения объектов задаются в мировой системе координат. Чтобы преобразовать мировые координаты в соответствующие физические координаты дисплейного устройства (графического дисплея), используется простой графический пакет (ПГП) — небольшой набор независимых от конкретного применения средств для формирования двумерных объектов на экране графического дисплея, а также для обеспечения взаимодействия между пользователем и прикладной программой.

Чтобы выполнить такое преобразование, должно быть известно, какая часть в принципе неограниченного мирового координатного пространства должна попасть на экран графического устройства. Заданную часть виртуального пространства, в которой формируется изображение для вывода на графические устройства, называют окном; оно обычно имеет прямоугольную или квадратную форму. Заданная часть пространства визуализации, на которую изображается окно, называется полем вывода. Операция отображения окна на поле вывода называется видовым преобразованием. ПГП использует задание окна для построения изображения, в котором изображение границ окна совпадает с рамкой экрана, т. е. с полем вывода. Однако нередко возникает необходимость вывода на экран лишь части изображения. Другую часть изображения, не попадающую в окно, ПГП делает невидимой с помощью операции, называемой отсечением. При отсечении удаляются графические примитивы или их части, лежащие вне заданной области. При отображении объекта обычно осуществляются операции одновременного преобразования окна и сформированного в нем изображения. Графические примитивы, располагающиеся полностью вне границ поля вывода, не отображаются на экран. В случае, если примитив частично попадает на экран, он отсекается по границе поля вывода. Операция отсечения может осуществляться как до преобразования отображения, так и после него. Целесообразно делать отсечение до отображения, так как это экономит время и ресурсы за счет того, что невидимые линии не подвергаются преобразованиям.

В случае, если стороны окна наклонены по отношению к осям мировой системы координат, отсечение невидимых линий повернутого изображения осуществляется после отображения.

Видовое преобразование и отсечение дают возможность выводить на экран только те части изображения, которые находятся внутри окна. Перемещая окно и назначая его размеры, можно создавать такие кинематографические эффекты, как панорамирование, крупный или мелкий план.

Поскольку поле вывода имеет обычно прямоугольную форму, формулы, по которым реализуется преобразование кадрирования имеют простой вид.

Примем, что весь экран является полем вывода, а в мировой системе координат задано окно, центр которого находится в точке (x_c, y_c).

Размеры окна, измеренные от центра, равны 1х и 1y в направлении осей ОХ и ОУ соответственно.

Тогда формулы задающие отображение точек х, у мировой системы координат в точках X, Y физической системы координатимеют вид:

, (1).

где X и Y — безразмерные величины, которые могут изменятся от -1 до +1.

Если поле вывода не покрывает весть экран, то возникают зависимости математический координатный геометрический преобразование.

;, (2).

где X_c и Y_c — координаты центра поля вывода, L_x и L_y — размеры поля вывода. В случае поворота окна относительно мировой системы координат на угол сначала необходимо выполнить преобразование вращения вокруг точек x_c, y_c по соответствующим формулам, а затем осуществить преобразование кадрирования по формулам (1), (2).

Когда изображение задаётся как список точек, отсечение является тривиальной задачей: каждая точка высвечивается и удаляется в зависимости от результата сравнения её координат с координатами поля вывода. Когда же изображение задаётся множеством прямых отрезков, задание усложняется. В этом случае каждый отрезок, как выходноц графический примитив, задаемый прикладной программой, подвергается проверке на 3 возможных случая: полного размещения внутри окна — виводится полностью; при пересечении примитива с окном он подвергается операции отсечения и выводится только его видимая часть; когда вне окна — не выводится. Поскольку поле вывода имеет форму прямоугольника (квадрата), каждому отрезку прямой принадлежит не более одного видимого участка.

Алгоритм выделения видимых участков отрезков, разработан Д. Коэном и А. Сазерлендом. В основе алгоритма лежит принцип, что каждый отрезок либо полностью лежит в пределах поля вывода, либо его математически разделить так, чтобы одна из его частей была удалена.