Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Анализ возможности использования метода прогонки

Запишем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка в следующем общем виде:

Уравнение (10 Л) следует дополнить граничными условиями (для определённости будем рассматривать граничные условия 1-го рода):

Запишем для уравнения (10.1) разностную схему, аппроксимируя производную второго порядка разностным оператором (2.12), а производную первого порядка — левой конечной разностью (в соответствии с правилом выбора конечных разностей для аппроксимации первых производных по координатам):

Отметим, что в случае v < 0 для аппроксимации производной первого порядка следует использовать правую конечную разность.

Приведём разностную схему (10.2) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:

Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

Проверяя для разностной схемы (10.2) достаточное условие сходимости прогонки (4.16).

приходим к выводу, что оно выполняется только при условии k > 0. Алгоритм решения (в виде блок-схемы) разностной схемы (10.2) для этого случая представлен на рисунке 10.1.

При k <, 0 достаточное условие сходимости прогонки (4.16) не выполняется и, следовательно, для решения разностной схемы (10.2) в этом случае метод прогонки использовать нельзя.