Метод установления с использованием явной разностной схемы

Запишем для уравнения (10.4) явную разностную схему (соблюдая правило выбора конечной разности для аппроксимации производной ди/дх):

В разделе 6.2.1 было доказано, что данная разностная схема условно устойчива; условием устойчивости является соотношение (6.3). Следовательно, максимальное значение шага итерации, при котором разностная схема (10.6) будет устойчива, определяется выражением:

Выражая из разностной схемы (10.6) величину и^п*, получаем рекуррентное соотношение.

которое с учётом равенства (10.7) преобразуется к виду:

Метод установления с использованием явной разностной схемы называют методом простой итерации, а выражение (10.8) — формулой простой итерации. Равенство (10.7) определяет шаг итерации для метода простой итерации.

В качестве нулевой итерации (начального условия, необходимого для решения в связи с введением фиктивной производной по времени) обычно задают свободный член исходного дифференциального уравнения (10.3):

Расчёт итераций следует продолжать до тех пор, пока итерационный процесс не сойдётся, т. е. пока не будет выполняться условие (10.5), в разностном представлении соответствующее неравенству:

где е — некоторая наперёд заданная положительная величина, характеризующая точность вычислений.

На рис. 10.2 приведён алгоритм решения (в виде блок-схемы) уравнения (10.3) методом установления с использованием явной разностной схемы (т.е. методом простой итерации). В силу условной устойчивости явной разностной схемы (10.6) метод простой итерации предполагает использование слишком маленького шага итерации, зависящего согласно соотношению (10.7) от величины шага по координате х. Поэтому для того, чтобы итерационный процесс сошёлся, потребуется достаточно большое количество итераций, а именно: