К вопросу о симметричной задаче Лидстона

Министерство образования и науки Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Механико-математический факультет Кафедра теории функций

Курсовая работа на тему

«К вопросу о симметричной задаче Лидстона»

Исполнитель:

студентка группы 643

Ушакова А.С.

Руководитель:

Доцент Андрианов В.Л.

Нижний Новгород

2011 г.

1. Некоторые необходимые теоретические факты

1.1 Преобразования Э. Бореля

1.2 Формулы Ю. В. Сохоцкого

2. Предложения общего характера о полноте систем

2.1 Предложение 1 и критерий полноты С. Банаха

2.2 Предложение 2 и теорема Шаудера-Тихонова

2.3 Предложение 3 и пример

3. Симметричная задача Лидстона

Список литературы

15

Данная работа примыкает к статье Юрия Алексеевича Казьмина «Об одном геометрическом признаке полноты» из математического сборника от 1976 г. В котором доказаны два следующих утверждения:

1) Система функций (1), полна в, если .

2) Если выпуклый компакт, то система (1) неполна в .

множество аналитических функций в односвязной области D. дважды симметричные множества, т. е. симметричное множество S при несимметричном отображении w переходит в симметричное множество.

Хорошо известна задача Лидстона: n ребуется восстановить функцию, удовлетворяющая условиям; которой занимались такие ученые как Боас, Гельфонд Казьмин.

В своей работе рассмотрела конечноразностный аналог этой задачи:. Представленная мной задача представляет интерес т.к. от соизмеримости параметра h и точек решение будет изменяться.

1. Некоторые необходимые теоретические факты

1.1 Преобразования Бореля Функция ее радиус сходимости. Функция называется целой, если она регулярна во всей конечной плоскости, для нее и следовательно .

Целая функция — конечного порядка если, что для, где. Нижняя грань множества называется порядком функции. Если не существует таких, то целая функция бесконечного порядка.

Если имеет порядок, то имеет конечный тип при порядке, если. Нижняя грань множества таких называется типом функции. .Если не существует таких, то имеет бесконечный тип.

Теорема Бореля. Пусть целая функция конечного порядка, ее нули, показатель сходимости последовательности, наименьшее целое число, удовлетворяющее условию. Тогда имеет место выражение, где многочлен, причем .

Целая функция называется целой функцией экспоненциального типа, если или и конечен.

Пусть сходиться при, на границе у существует хотя бы 1 особенность. называется ассоциированной по Борелю.

Свойства 1), то, где целые функции экспоненциального типа и ассоциированные по Борелю для .

2).

целая функция экспоненциального типа, ассоциированная по Борелю с, тогда выпуклая оболочка множества особых точек функции называется сопряженной диаграммой.

Индикатором имеющей называется функция. Выпуклый компакт, для которого является опорной, называется индикаторной диаграммой.

Пусть целая функция экспоненциального типа, ассоциированная по Борелю с, D сопряженной диаграммой, тогда, где С замкнутый контур охватывающий D.

1.2 Формулы Сохоцкого Рассмотрим вопрос о существовании предельных значений интеграла типа Коши на контуре интегрирования, а также установить связь между ними и особым интегралом.

Пусть, где удовлетворяет условию Гёльдера. Будем считать контур замкнутым и гладким. В случае, если контур окажется незамкнутым, мы дополним его какой-нибудь кривой до замкнутого, положив на этой дополнительной кривой .

Для исследования предельных значений в некоторой точке контура возьмем функцию Обозначим, предельные значения аналитических функций при стремлении точки изнутри к точке контура, а , — при стремлении извне. (Для незамкнутого контура это соответствует предельным значениям слева и справа.) Чтобы подчеркнуть направление перехода к пределу, будем писать соответственно или. Значения соответствующих функций в точке контура будем обозначать просто, причем будет обозначать особый интеграл понимаемый в смысле главного значения. Исходя из равенств будем иметь Так как функция непрерывна, то правые части написанных равенств совпадают, т. е. Отсюда окончательно получаем

Эти формулы, полученные впервые в 1873 г. русским математиком Ю. В. Сохоцким, называются формулами Сохоцкого.

Теорема. Пусть — гладкий контур (замкнутый или незамкнутый) ифункция точек контура, удовлетворяющая условию Гёльдера. Тогда интеграл типа Коши имеет предельные значения во всех точках контура, не совпадающих с его концами, при приближении к контуру слева или справа по любому пути, и эти предельные значения выражаются через плотность интеграла и особый интеграл по формулам Сохоцкого (1).Вычитая и складывая формулы (1), получим пару равносильных им формул и. Известно, что является необходимым для представления кусочно аналитической функции интегралом типа Коши. Легко вывести, что оно является также и достаточным. В самом деле, пусть — краевые значения кусочно аналитической функции, удовлетворяющие условию Гёльдера. Тогда, взяв плотность интеграла типа Коши в виде, на основании формул Коши (если аналитическая в и непрерывная в если же аналитическая в и непрерывная в то) и с учетом будем иметь

2. Предложения общего характера о полноте систем

2.1 Предложение 1 и критерий полноты С. Банаха Критерий полноты С. Банаха. Необходимым и достаточным условием полноты последовательности в А (D) является единственность решения в следующей бесконечной системы уравнений

Предложение 1. Система функций (1)

полна в А (D), если

Доказательство (от противного) Предположим что система (1) неполна в А (D), несмотря на то, что. Тогда согласно критерию полноты С. Банаха существует

такая, что. (2)

Пусть. Из (2) следует соотношение

(3)

Обозначим через множество особенностей функции. Заметим, что ввиду четности или нечетности, всегда компакт, и по крайней мере один из компактов, не пуст.(так как по крайней мере одна из функций отлично от тождественного нуля.) Равенство (3) эквивалентно (4)

Где Z (w)-функция, обратная к W (z), а контуром интегрирования служит любая замкнутая жорданова кривая Г, обладающая свойствами Представим функцию в виде где голоморфна в, а голоморфна в и обращаются в нуль на бесконечности. Тогда из (4) следует (5)

Функция Z'(w) не обращается в нуль в области D. Поэтому множество особенностей функции таково: Соотношения (5) говорят о том, что является четной функцией, а поэтому Так как по крайней мере хотя бы один из компактов не пуст, следовательно, что противоречит условию. Предложение доказано.

2.2 Предложение 2 и теорема Шаудера-Тихонова Теорема Шаудера-Тихонова В локально выпуклом топологическом векторном пространстве любое непрерывное отображение выпуклого компактного множества K в себя имеет неподвижную точку.

Предложение 2. Если существует выпуклый компакт, то система (1) неполна в A (D).

Доказательство.

Пусть существует выпуклый компакт. Покажем что, система (1) неполна в A (D). Возьмем любое. Тогда точка тоже принадлежит K (так как), а точка принадлежит образу W (K), который тоже принадлежит S, ввиду того, что согласно сделанному предположению. Но тогда отображение (6)

является непрерывным отображением выпуклого компакта K в себя. По теореме Шаудера-Тихонова в этом случае существует, по крайней мере одна неподвижная точка отображение (6). Но тогда в необходимо выполнено соотношение (7)

Если то из (7) следует, что W (0)=0. Поэтому функция, очевидно, удовлетворяет равенствам, n=0,1,2,.Если же то для функции справедливы соотношения

Ибо согласно (7), Поэтому и в том, и в другом случаях в рассматриваемой ситуации существует являющаяся не тривиальным решением бесконечной системы линейных уравнений (2). Но тогда система (1)неполна в А (D) по критерию полноты С.Банаха. Предположение 2 доказано.

2.3 Предложение 3 и пример Предложение 3. Если W (z) принимает действительные значения при и существует компакт такой, что выпуклое множество, то система (1) не полна в А (D)

Доказательство. Аналогично предложению 2.

Хорошо известно, что любая целая функция экспоненциального типа F (z) представима в виде (8)

где функция аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки, а контур интегрирования Г в (8) есть любая замкнутая жорданова кривая, выбранная так, что множество особенностей функции (всегда компакт) лежит в области. Обозначим через класс целых функций экспоненциального типа, определяемый соотношением

что очевидно эквивалентно следующему. Таким образом левые части (2) могут быть рассматриваемы как значения линейных функционалов над. И с этой точки зрения предложения 1−3 могут быть трактованы, как соответственно теоремы о единственности и не единственности решения интерполяционной задачи (9)

В классе целых функций, что будет использовано ниже. Сказанное в равной мере относиться и к интерполяционным задачам вида (9), рассматриваемым в классах целых функций, представляемых в виде где — функция сравнения (), а

Пример. Рассмотрим вопрос о полноте в полосе системы экспонент В этом случае функция конформно и однолистно отображает полосу на правую полуплоскость. Очевидно, что. Согласно предложению 1 система, полна в. Отсюда используя соображения заключительной части раздела 1, приходим к выводу, что любая, обращающаяся в нуль в целых точках, тождественно равна нулю. Вместе с тем, если разрешить функции, ассоциированной по Борелю с целой функцией экспоненциального типа F (z), иметь особенности на множестве, то пример функции (множество особенностей ассоциированной с ней по Борелю функции состоит из точек), обращающейся в нуль при любом, показывает, что в этом случае единственности нет. Вместе с тем компакт лежит в полосе, а является выпуклым множеством, что согласно предложению 3 говорит о том что, система, не полна в при .

3. Симметричная задача Лидстона Прежде всего, условимся об обозначениях. Класс целых функций роста не выше порядка типа обозначим символом [, а пространство функций, аналитических в круге, значком А (). Пусть заданы последовательности комплексных чисел, и существует функция, удовлетворяющая условиям. Требуется восстановить функцию

Рассмотрим однородную симметричная задачу Лидстона. Напомним оператор конечно разности:

Пусть существует функция, удовлетворяющая условиям. Рассматривается вопрос о полноте данной системы.

Напомним оператор конечно разности:

…

Используем преобразование Бореля для функций экспоненциального типа, где — ассоциированная по Борелю с,. Известно, что регулярна в окрестности, , гдеэкспоненциальный тип функции. Контур интегрирования содержит внутри себя множество особых точек функции. Тогда однородные интерполяционные условия могут быть записаны в равносильном виде

(1)

где контур с учетом теоремы Полиа содержится в полосе и содержит внутри себя сопряженную диаграмму искомой функции .

Выполняя замену t наt. множество особых точек функции симметрично относительно начала координат, значит

Выполняя в интегралах (1) замену, получаем

(2)

(главная ветвь логарифма и функции)

где интегрирование ведется по контуру, содержащему внутри образ в сопряженной диаграммы .

Отметим, что все предполагаемые особые точки подынтегральной функции (2) в плоскости с разрезом содержится в. Представим функцию в виде

(3)

функций регулярной внутри и регулярной вне, С учетом интегрально теоремы Коши получаем. Тогда Поскольку особые точки функции содержаться внутри контура то контур можно деформировать в окружность достаточно большого радиуса R. Тогда функция допускает разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, т. к равномерно сходящийся изнутри области. подставим полученное разложение в функцию

Пусть и получим. то. Аналогично для других n,. Откуда следует четная, тогда контур тоже считаем симметричным относительным начала.

Тогда симметричности относительно начала координат, т. е.. По теореме 2 из того что, следует что система не полна и будет существовать не тривиальное решение.

максимальная точка на вещественной оси,, следовательно. Перейдем обратно он w к t

симметричная задача лидстон

1. Whittaker J.M. On Lidstone’s series and two-point expansions of analytic functions. «Proc. London Math. Soc.», 2, 36, 451−469,1933;1934

2. Boas R.P. Representation of functions by Lidstone series. «Duke Math. J.», 10, 239−245, 1943.

3.Казьмин Ю.A. Задача Лидстона и ее обобщения, М., «Вестник московского университета № 6», 40−50, 1996.

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи, М., Гостехиздат, 35−37,97−102, 1958.

5. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., «Наука», 42−52,1983.

6. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М., «Гостехиздат», 240−245, 1959

7.Казьмин Ю. А. Признак полноты, «Математический сборник», том100(142), 1976