Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп

Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, но и в других разделах математики, например, в топологии. В теории групповых колец можно выделить два основных направления: исследование кольцевой структуры и исследование мультипликативной структуры. Диссертационные исследования в основном касаются второго направления, т. е. изучаются группы единиц (обратимых элементов) групповых колец.

Вопросы мультипликативной структуры колец сначала рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел. К ним относятся теорема Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел [13] (Теорема П. 4.5), результаты Синнота [24], [25] о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел). Хигман [20] исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.

Классическим объектом исследований в теории групповых колец являются целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные характеристики групповых колец конечных групп. Если рассматривать групповые алгебры конечных групп над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами.

Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц, то получение информации об этой группе является важной задачей при исследовании группы всех единиц. Дополнительную значимость этому придает тот факт, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. Кроме того, полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольших порядков.

В мультипликативной теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определенные свой-ства (свобода, центральность, конечность индекса и др.) и выяснение свойств групп всех единиц. Обзоры состояния исследований групп единиц групповых колец можно найти в работах Бовди [18] и Джесперса [21].

В работах [16, 22] получено описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы Р? Х2(5) = А5. Также в [16] описана группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы Р 5X2(9) = А6.

Основная цель диссертационной работы состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец групп Р8Ь2^) и РС?½(<7), где q нечетно.

Основные задачи диссертационной работы: получить результаты как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единицполучить точные описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп Р8Ь<1(.

Для изучения центральных единиц привлекаются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры. Для вычислений используется компьютерная система GAP.

Изложенные в диссертации результаты работы были представлены в качестве докладов на Международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006), Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика», посвященной 30-летию ЧелГУ (Челябинск, 2006), конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2006), 38-й Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2007), алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2007), Международной конференции «Алгебра и ее приложения», посвященной 75-летию В. П. Шункова (Красноярск, 2007), Международной школе-конференции по теории групп, посвященная 60-летию A.C. Кондратьева (Челябинск, 2008), конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2008).

Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах [26]-[35].

Текст диссертации состоит из введения, двух глав, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 130 страниц.

1. Митина, О. В. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q нечетно/Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Международный семинар по теории групп. — Тез. докл. — Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та. — 2001. С. 11−13.

2. Митина, О. В. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q нечетно/ Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Ред. Челяб. гос. ун-та.- 2005. 63 с. — Деп. ВИНИТИ 11.11.05, № 1462-В2005.

3. Митина, О. В. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q = 1 (mod 4), q не является квадратом./ О. В. Митина. — Мальцевские чтения. Новосибирск, 2006. — Тез. докл. — http://www.niath.nsc.ru/conference/nialmeet/06.

4. Митина, О. В. Центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q нечетно./ Р. Ж. Алеев, О. В. Митина. — Известия Челябинского научного центра, 2006. — .№ 4. — С. 6−10.

5. Митина, О. В. Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL2(17)./ О. В. Митина. — Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции.- Екатеринбург, УрО РАН, 2007. С. 55−60.

6. Митина, О. В. Теорема разложения для групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q = 1 (mod 4) и q не является квадратом./О. В. Митина. — Тез. докл. Международной конф. «Алгебра и ее приложения». — Красноярск, 2007. — С. 98.

7. Митина, О. В. Уравнения Пелля и центральные единицы целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно./ О. В. Митина. — Труды ИММ УрО РАН.— Екатеринбург, 2008. Т. 14, № 4. — С. 135−142.