Модель пересекающихся поколений Гейла

Пусть численность рожденных за год индивидов растет темпом я, тогда в году t родилось N (i + ny у а в предыдущем году — ЛГ (1 + яУ^-1 человек. Первую группу назовем «молодые», вторую — «пожилые», N считаем равным единице. Зарплата молодых (Y_{) и пенсия пожилых (У₂) заданы, а их оптимальные объемы потребления (С_{ и С₂) следует определить.

Условие сбалансированности — суммарные доходы двух поколений равны суммарному объему их потребления:

Это нисходящий отрезок с тангенсом угла наклона 1 + п.

Бюджетное ограничение — потребление пожилых равно их доходу плюс сбережение молодых с процентами:

Это нисходящий отрезок с тангенсом угла наклона 1 + i. Если молодые потребляют больше дохода, то они одалживают, если меньше дохода, то сберегают.

Равновесие достигается при максимальной величине полезности. Рассмотрим частный случай целевой функции типа Кобба — Дугласа:

где отношение параметров а / b характеризует степень нетерпеливости, или предпочтение настоящего будущему.

Равновесие достигается, когда полезность максимальна при выполнении ограничений (2.63) и (2.64). Если п * i, то отрезки пересекаются в одной точке, и имеется единственный вариант потребления С_Х = У_Х — неторговое (тривиальное) равновесие. Если п = г, то отрезки совпадают, и мы получаем задачу максимизации функции при одном линейном ограничении — торговое равновесие. Его называют классическим, если молодые одалживают, и самуэлъсоновским — если сберегают (С, < У_х).

Найдем условие самуэльсоновского равновесия, для этого сначала найдем оптимальные объемы потребления, подставив условие равновесия в (2.63):

Отсюда следуют условия, при которых молодые сберегают:

• • при постоянной численности населения (п = 0) отношение зарплаты к пенсии больше коэффициента нетерпеливости: У_х / У₂> а / Ь
• • при равноценности настоящего и будущего (а / b = 1) отношение пенсии к зарплате меньше темпа роста населения: У₂ / У < 1 + п
• • при постоянной численности населения и равноценности настоящего и будущего оптимальное потребление молодых равно полусумме зарплаты и пенсии.