Стохастические модели движения трудовых ресурсов

Рассмотрим три стохастические модели движения трудовых ресурсов.

Модель миграции населения. Данная модель исследует миграцию населения между регионами страны на основе низменных значений вероятности переезда из одного региона в другой без учета рождаемости и смертности.

Переходная матрица миграции. Каждый ее элемент равен вероятности переезда на постоянное место жительство из одного региона в другой регион в течение года. Элемент ее главной диагонали равен вероятности сохранения местожительства в данном регионе в течение года, а сумма элементов каждой строки равна единице. Переходную матрицу миграции мы считаем неизменной.

Пусть А = {й_у} — переходная матрица миграции, тогда a_j} — вероятность переезда жителя г-го региона в j-й регион в течение года. Элемент матрицы A^k (k-i/i степени переходной матрицы), расположенный на пересечении г-й строки и у-го столбца, равен вероятности переезда жителя г-го региона в у-й регион в течение k лет. Начальный вектор распределения населения по регионам: Х₀ ={дг_г⁰}, где — начальная численность г-го региона. Численность населения страны неизменна и равна сумме координат данного вектора. В случае трех регионов численность г-го региона через год равна.

Отсюда векторы распределения населения через год и через k лет:

Пример В табл. 11.1 представлены переходные матрицы миграции первого и второго порядка. Из нее следует, что диагональные элементы второй матрицы меньше, чем первой, т. е. вероятность остаться проживать в своем регионе уменьшается с увеличением длины рассматриваемого периода.

Таблица 11.1

Переходная матрица миграции: пример

Заметим, что если вероятность переезда в течение года из одного региона в другой равна нулю (элементы я₁₂ и а₃₁ равны нулю), т. е. соответствующий переезд невозможен в течение года, то он оказывается возможным за более длительный период времени через другие регионы.

Модель естественного движения. Данная модель исследует рождаемость, смертность и динамику численности населения на основе постоянных значений рождаемости и смертности без учета миграции.

Пусть имеются три типа возрастных групп: дети, фертильные (способные создавать потомство) группы и пенсионеры. Предполагается, что число мужчин и женщин в каждой группе одинаково.

Переходная матрица естественного движения населения. Каждый ее элемент равен вероятности перехода из одной возрастной группы в другую возрастную группу в течение года. Переходную матрицу мы считаем неизменной.

Пусть С — переходная матрица естественного движения населения, ее элемент Су равен вероятности перехода представителя г'-й возрастной группы в j-ю возрастную группу в течение года. Многие переходы между группами невозможны, поэтому большинство элементов матрицы равны нулю, например представитель группы «дети» не может через год стать пенсионером. Матрица имеет две группы положительных элементов: первая описывает смертность, вторая — рождаемость:

• • смертность. Обозначим через с, ₁₊₁ вероятность остаться в живых через год для представителя i-й возрастной группы, назовем данный показатель коэффициентом дожития. Он существует для всех групп, за исключением старшей группы. Коэффициенты дожития расположены над главной диагональю С и уменьшаются с возрастанием номера группы;
• • рождаемость. Обозначим через с,-, вероятность рождения ребенка в течение года для представителей г-й группы — это коэффициент рождаемости, он положителен для фертильных групп и нулевой для остальных групп: человек фертильного возраста способен «перейти» в группу «дети», делегировав в нее своего ребенка в качестве представителя. Коэффициенты рождаемости расположены в первом столбце матрицы.

Начальный вектор распределения населения по возрастным группам: К₀ = {*/?}> где yf — начальная численность г-й группы.

Векторы распределения населения по возрастным группам через год и через kлет:

Численность населения страны в k-м году равна сумме координат вектора Y_k.

Пример В табл. 11.2 представлены переходные матрицы естественного движения населения первого и второго порядка. Из нее следует, что для представителей младшей возрастной группы вероятность прожить два года равна 72%, а вероятность иметь через два года потомство в той же возрастной группе равна 54%. Для представителей старшей фертильной (третьей) группы вероятность иметь через два года потомство в младшей возрастной группе равна нулю.

Таблица 11.2

Переходная матрица естественного движения населения: пример

Модель движения экономически активного населения. Данная модель исследует изменение статуса безработных и занятых в предположении о неизменной численности экономического активного населения на основе неизменных значений вероятности перехода из одного статуса другой.

Статус индивида определяется принадлежностью к категории безработных или занятых, а также продолжительностью непрерывного пребывания в этой категории. Занятые в экономике разбиты на группы с равным непрерывным стажем занятости, а безработные — на группы с равным непрерывным стажем безработицы. Вектор распределения экономически активного населения:

где тип — число групп занятых и безработных соответственно.

Численность экономически активного населения равна сумме координат этого вектора.

Переходная матрица движения экономически активного населения.

Каждый ее элемент равен вероятности перехода из одной группы в другую группу в течение года. Матрица имеет блочный вид, поскольку имеются четыре типа переходов: «занятый — занятый», «безработный — безработный», «безработный — занятый», «занятый — безработный». Переходную матрицу мы считаем неизменной.

Пусть В ={bjj} — переходная матрица, где b^ — вероятность перехода из г-й в j-ю группу за месяц. Число ее строк (столбцов) равно числу групп, а сумма элементов каждой строки равна единице. Распределение экономически активного населения по группам через k месяцев рассчитывается по формуле.

Пример Рассмотрим переходную матрицу для случая четырех категорий экономического активного населения: занятые и безработные с непрерывным стажем один год и с непрерывным стажем не менее двух лет (табл. 11.3).

Таблица 113

Переходная матрица движения экономически активного населения: пример

Из таблицы следует, что для работников с низким трудовым стажем (один год) вероятность сохранить работу в течение года равна 72%, а для работников с большим стажем (не менее двух лет) она больше — 91%. Для безработных с низким непрерывным стажем безработицы вероятность остаться без работы в течение года равна 35%, а для безработных с большим стажем она больше — 52%.