Изучение динамики поступательного движения тела с помощью машины Атвуда

Министерство образования РФ Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра ОиЭФ Изучение динамики поступательного движения тела с помощью машины Атвуда

Рязань

Цель работы: Изучение динамики поступательного движения тела в поле сил земного тяготения, определение ускорения свободного падения.

Приборы и принадлежности: машина Атвуда со встроенным миллисекундомером, набор грузов и перегрузов.

Элементы теории

Машина Атвуда используется для изучения законов динамики движения тел в поле земного тяготения. Принцип работы машины Атвуда таков: если на концах нити висят грузы, А и Б одинаковой массы, то система должна находиться в положении безразличного равновесия. Когда на один из грузов (массой М) кладут Масса перегрузка (массой m), то система выходит из положения безразличного равновесия и грузы, А и Б начинают двигаться равноускоренно.

Вначале запишем второй закон Ньютона для обоих грузов, предполагая, что нить с блоком не весомы, сила трения мала и нить не растяжима (T₁ = T₁).

1)

Где g — ускорение свободного падения, a — ускорение грузов, а T₁ и T₂ — сила натяжения нити.

Выразим из данной системы ускорение a.

2)

Проверим равноускоренный характер движения грузов, экспериментально получая значения пути данных грузов S (для обоих грузов он одинаков) и время движения t.

3)

Где a_i— экспериментальное ускорение полученное из формулы (3).

Подставляя a_i в (2) получаем следующую формулу.

4)

Для вычисления ускорения свободного падения g формула (4) в данном случае использоваться не будет (из-за приблизительности расчётов по ней). Для получения более точного значения g, силу трения нити о блок — F_тр и момент инерции блока — J_б необходимо учесть (T₁ T₂). Рассмотрим получения вышеописанных формул с учётом новых величин. Вычислим g из закона динамики для вращательного движения тела (в данном случае блока).

5)

Где — сумма проекций на ось Z всех сил, действующих на вращающиеся тело; - его угловое ускорение; J — момент инерции.

Где r — радиус блока, J_б — момент инерции блока.

Перепишем систему (1) выражая (T₁ — T₂).

7)

Выразив a, получим

Учтём данные массу блока M_б и силу трения F_тр.

8)

Выразив из формул (8) J_б и M_тр, формулу (7) запишем так.

9) Выразим g.

Пусть a_эi и a_эj — экспериментальные ускорения перегрузков мессами m_i и m_j соответственно. Тогда из (9) можно получить такую систему

10)

Где g_э — экспериментальное значение ускорения свободного падения.

Выразив его из данной системы получим

11)

По данной формуле и будет вычисляться ускорение свободного падения (g_э), теперь запишем формулу для нахождения погрешности измерения величины ускорения свободного падения .

12)

Где k — число различных пар перегрузов.

машина атвуд движение динамика

Расчётная часть

Найдём средние арифметические измеренных величин и .

Значения найдём по следующей формуле:

Значения найдём по аналогичной формулы:

Данные значения подсчитаны и занесены в таблицу для каждого значения пути грузов S_j и их масс m_i. Теперь подсчитаем погрешность S_ij.

т. к.

k = 1,1; P = 0,95; t_c = 1,96; c = 10^-3 (м);

(м).

Данное значение S_ij является постоянным для всех измеренных значений масс грузов и измеренных значений пути. Теперь найдём погрешность t_ij.

t_c = 4,30; ;

При i — номер перегрузка, а j — номер пути (S₁, S₂ или S₃) соответственно номеру j. Учитывая, что: S₁ = 0,25, S₂ = 0,2 и S₃ = 0,15.

t₁₁ = 0,47 с. t₂₁ = 0,05 с. t₁₃ = 0,06 с.

t₁₂ = 0,02 с. t₂₂ = 0,04 с. t₁₃ = 0,03 с.

t₁₃ = 0,19 с. t₂₃ = 0,09 с. t₁₃ = 0,05 с.

Далее изобразим на координатной плоскости графики зависимости от. По одному графику для каждого значения массы перегрузков и для каждого значения пути.

При данных угловых коэффициентах можно найти ускорение i — ого тела в j — ой серии.

a_ij = 2k_ij;

a₁₁ = 2 0,03 = 0,06; a₂₁ = 2 0,066 = 0,132; a₃₁ = 2 0,119 = 0,238;

a₁₂ = 2 0,037 = 0,074; a₂₂ = 2 0,064 = 0,128; a₃₂ = 2 0,116 = 0,232;

a₁₃ = 2 0,036 = 0,072; a₂₃ = 2 0,070 = 0,14; a₃₃ = 2 0,111 = 0,222;

Для нахождения ускорения тела i — ой массы возьмём действительные значения ускорений для каждой (j — ой) серии замеров.

a_э1 = 0,07; a_э2 = 0,13; a_э3 = 0,23;

Теперь найдём погрешность a_эi. В данном случае a_эi будет найдена, по формуле нахождения погрешности для величины полученной прямыми измерениями. Следовательно будут использоваться следующие выражения:

t_c = 4,30; ;

Долее по формуле (12) подсчитаем примерное значение g_эk.

Само значение найдём, как действительное значение величин и .

Подсчитаем g_э по формуле (11).