Примеры на составление уравнении лагранжа

Пример 2.1. Найш уравнения движения на плоскости материальной точки массой т, на которую действуют силы X, Y (рис. 2.9), применив уравнения Лагранжа.

Решение. Координаты точки _i{.y) выразим через полярные координаты:

т. с. в качестве обобщенных переменных примем.

Кинетическую энергию.

в новых переменных найдем, выражая через них* и у

тог.ла.

Составляющие сторонних сил F_{c (},) определяются уравнениями (см. (2.10)):

Обратим внимание, что последняя составляющая силы представляет момент, стремящийся повернуть массу относительно начала координат.

Учитывая, что V = 0, уравнения Лагранжа запишутся следующим образом:

Рис. 2. К). К примеру 2.2.

Пример 2.2. Составить уравнения для цепи, представленной на рис. 2.10, используя уравнения Лагранжа.

Решение. Рассматриваемая система имеет две степени свободы — два контура. В качестве независимых переменных примем заряды Q, СУ, соответствующие токам контуров:

Коэнсргия, запасенная в магнитных полях, Энергия, запасенная в электрических полях, Здесь .S', = l/C_uS₂= 1/С₂.

Составим функцию Лагранжа, замечая, что при выбранных в качестве независимых переменных Q и Qi роль кинетической энергии играет коэнершя W'", роль потенциальной — энергия электрического поля. Роль внешней силы для первого контура играет напряжение источника питания U (t), для второго — U₂(t) = 0.

Применяя уравнение Лагранжа для координаты Q, получим.

После подстановки в это уравнение значений W', и W_e, дифференцируя последовательно по Q (б) и Q₂ (д₂), найдем.

или, учитывая, что Q = j idt,

Рис. 2.11. К примеру 2.3.

Пример 2.3. Составить уравнения для цепи, представленной на рис. 2.11, используя уравнения Лагранжа.

Решение. Рассматриваемая система имеет две степени свободы — число узлов равно двум. В качестве независимых примем потокосцешения i и ₂, которые связаны с напряжениями узлов и и и₂:

Коэнсргия электрического ПОЛЯ Энергия магнитного поля Здесь Г1 = UL; Г₂= /L₂.

Учитывая, что роль кинетической энергии играет W', а потенциальной — W"" запишем функцию Лагранжа.

Роль внешней силы играет источник тока i (t).

Применяя уравнения Лагранжа по каждой независимой переменной, найдем уравнения движения системы.

Учитывая, что у = J udt, их можно представить в интегральнодиффереш шальной форме.

Пример 2.4. Составить уравнения движения для электромеханической системы, приведенной на рис. 2.12. Она соответствует асинхронной машине с равномерньш воздушньш зазором, на статоре и роторе которой расположены двухфазные обмотки. Статорные обмотки обозначены через А и В, роторные — через а и Ь. Угол у отсчитывается между осями неподвижной фазы А и фазы а на роторе. Положительный отсчет производится, как это принято, при движении против часовой стрелки. Собственные индуктивности фаз обмоток можно считать постоянными, не зависящими от положения ротора (зазор постоянный) L_A = L_B = Lw, L" = L_h = I₂2, а взаимные интуитивности между фазами статора и ротора меняются по синусоидальному закону от угла поворота:

Рис 2.12. К примеру 2.4. Схема асинхронной двухфазной.машины.

Замечая, что взаимные индуктивности между фазами статора, как и между фазами ротора, равны нулю (они сдвинуты на угол я/2), запасенная магнитная энергия (коэнергия) запишется, полагая, что система электрически линейна, как

Энергия, запасенная в алектрическом поле конденсатора Q:

Кинетическая энергия вращающихся частей машины, момент инерции которых./:

Диссипативная функция потерь при пренебрежении потерями на механическое трение:

Система имеет пять степеней свобода s = 5, из них четыре относятся к электрической части. В качестве независимых переменных примем заряды, соответствующие токам контуров (фаз) — Q_A, Qb, Q," Qb, и угол у. При сквозной нумерации переменных это q, qi, <7з, (/₄, соответственно.

Составим функцию Лагранжа

Согласно формуле (2.16) имеем: для фазы Л (/= 1).

для фазы В (/ = 2).

для фазы а (/ = 3)

для фазы /> (# = 4).

При записи уравнений для контуров ротора мы полагаем их накоротко замкнутыми: и_а =и_ь = 0. Конденсатор включается в фазу В

как фазосмещающий элемент, когда питание машины осущесташегся от однофазного источника, т. е.

Уравнение движения ротора на основе уравнения Лагранжа.

(/ = 5):

приводится к виду.

где второе слагаемое в левой части уравнения предстаатяет развиваемый электромагнитный момент М_эм:

а уравнение движения ротора запишется.

Здесь М_с > 0, если мощность подводится к валу машины, М_с < О, если мощность снимается с вала машин. Первый случай соответствует генераторному режиму, второй — двигательному.

юз Приведем порядок составления уравнений движения системы на основе функции и уравнений Лагранжа.

• 1. Выбираем систему независимых переменных q, характеризующих состояние системы. При этом сети в качестве последних для электрической части приняты заряды Q", то в этом случае в роли кинетической энергии выступает коэнертя магнитного поля W',, а энергия электрического поля W_e будет соответствовать потенциальной энергии. Если принять в качестве независимых переменных потокосцсплсния, то в роли кинетической энергии будет выступать коэнергия электрического поля W', а энергия магнитного поля W_m будет играть роль потенциальной энергии.
• 2. Записываем выражение для функции Лагранжа (лагранжиан)

где W и V — результирующие значения кинетической и потенциальной энергий системы.

• 3. Определяем сторонние (внешние) силы, приложенные к системе. Для электрической части их рать выполняют напряжение источников либо токи источников тока в зависимости от выбора независимых переменных — зарядов ити потокосцеитений.
• 4. Находим диссипативную функцию рассеяния энергии — функцию Рэлея

5. Найденные функции подставляем в уравнение Лагранжа.

и получаем систему уравнений, изменяя /от 1 до s, где /' = 1 …j относятся к механическим, пространственным координатам, а п =j + 1, j + 2 … j + к — к электрическим зарядам ити потокосцеплениям.