Высказывания. 
Логика. 
Элементарный курс

Простые и сложные высказывания. Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция

Наши рассуждения слагаются из высказываний. К примеру, в умозаключение «Некоторые птицы летают; значит, некоторые летающие — птицы» входят два разных высказывания.

Высказывание — более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний па более простые части мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».

Высказывание — грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым гем смыслом (содержанием) и являгощееся истинным или ложным.

Понятие высказывания — одно из исходных, ключевых понятий логики. Как таковое оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определенную ситуацию,'что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.

Высказывание считается истинным, если даваемое гем описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значенглями высказывания.

Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания.

Например, из высказываний «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дуст ветер и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, то дует ветер» и т. п. Выражения «и», «либо, либо», «если, то» и т. п., служащие для образования сложных высказываний, называют логическими связками.

Высказывание называют простым, если оно не включает других вы скалываний в качестве своих частей.

Высказывание называют сложным, если оно получено с помощью логических связок из других, более простых высказываний.

Может показаться, что знакомство с высказываниями естественнее всего начать с изучения простых высказываний и их частей и уже затем приступить к изучению того, как из простых высказываний образуются сложные. Однако в логике подход является обратным. Сначала рассматриваются способы построения сложных высказываний из более простых, при этом простое высказывание берется как неразложимое далее целое (как «атом»), и только затем переходят к выявлению строения простых высказываний. Анализ структуры сложных высказываний предшествует анализу структуры простых. Основание для такого подхода заключается в следующем: для того чтобы понимать способы сочетания высказываний, вовсе нс обязательно знать, что такое простое высказывание; достаточно учитывать только то, что последнее имеет определенное значение истинности. Простые высказывания чрезвычайно разнообразны, выявление составляющих их частей во многом зависит от принятого способа их анализа. Некоторые логические связи между высказываниями не зависят от строения простых высказываний. Поэтому разумно поступить так, как если бы мы знали все о простых высказываниях, оставить вопрос об их структуре на время в стороне и заняться теми логическими связями высказываний, которые не зависят от этой структуры. Последняя задача относительно проста.

Та часть логики, в которой описываются логические связи высказываний, не зависящие от структуры простых высказываний, называется общей теорией дедукции, или логикой высказываний.

. Перейдем к рассмотрению наиболее важных способов построения сложных высказываний.

Отрицание — логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое высказывание, такое, что если исходное высказывание истинно, его отрицание является ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 — четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»).

Обозначим высказывания буквами Л, В, С, …, отрицание высказывания — символом Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание, А истинно, его отрицание, А ложно, и если, А ложно, его отрицание, — А, истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» ложно, а так как «1 есть простое число» ложно, его отрицание «1 не есть простое число» истинно.

Таблица истинности для отрицания *.

Определению отрицания можно придать форму таблицы истинности, в которой «и» означает «истинно» и «л» — ложно.

Соединение двух высказываний при помощи слова «и» дает сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким образом, называются членами конъюнкции.

Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

Высказывание А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о высказывании В. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний.

Таблица истинности для конъюнкции.

Обозначим конъюнкцию символом Л. Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на двух предположениях.

Во-первых, каждое высказывание (как простое, так и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным.

Во-вторых, истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.

Эти предположения кажутся простыми. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что наряду с истинными и ложными высказываниями могут существовать также высказывания, неопределенные с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» и т. п.). Нужно отказаться также от того, что истинностное значение сложного высказывания зависит от «связи по смыслу» соединяемых высказываний.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 — простое число» и «Москва — большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 — простое число и Москва — большой город», поскольку составляющие ее высказывания не связаны между собой по смыслу.

Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.

Соединение двух высказываний с помощью слова «или» дает дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называют членами дизнъюнкции.

Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе».

На п ри м е р, высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на «Пиковую даму» или на «Лиду» допускает возможность двукратного посещения оперы. В высказывании же «Он учится в Московском или в Ярославском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает только, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из них истинно, а второе — ложно.

Символ V будет обозначать дизъюнкцию в неисключающсм смысле, для дизъюнкции в исключающем смысле будет использоваться символ У. Таблицы для двух видов дизъюнкции показывают, что пеисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны; исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.

В логике и математике слово «или» почти всегда употребляется в нсисключающем значении.

Разложение некоторого высказывания на простые, далее неразложимые части дает два вида выражений, называемых собстТаблица истинности для дизъюнкции венными И несобственными.

символами. Собственные символы имеют какое-то содержание, даже взятые сами по себе. К ним относятся имена (обозначающие некоторые объекты), переменные (отсылающие к какой-то области объектов), высказывания (описывающие какие-то ситуации и являющиеся истинными или ложными). Несобственные символы не имеют самостоятельного содержатся, но в сочетании с одним или несколькими собственными символами образуют сложные выражения, уже имеющие самостоятельное содержание. К несобственным символам относятся, в частности, логические связки, используемые для образования сложных высказываний из простых: «…и «…или …», «либо …, либо …», «если …, то …», «…тогда и только тогда, когда …», «ни …, ни …», «не …, а …», «…, но не …», «неверно, что …» и т. п. Само по себе слово, скажем «или», не обозначает никакого объекта. Но в совокупности с двумя собственными, обозначающими символами это слово дает новый обозначающий символ: из двух высказываний «Письмо получено» и «Телеграмма отправлена» — новое высказывание «Письмо получено или телеграмма отправлена».

Центральная задача логики — отделение правильных схем рассуждения от неправильных и систематизация первых. Логическая правильность определяется логической формой. Для ее выявления нужно отвлечься от содержательных частей рассуждения (собственных символов) и сосредоточить внимание на несобственных символах, представляющих эту форму в чистом виде. Отсюда интерес формальной логики к таким, обычно не привлекающим внимания словам, как «и», «или», «если, то» и т. п.^[1]

• [1] О том. насколько такие слова выпадают из нашего поля зрения, говорит шуточная загадка: «А и В сидели на трубе, А упало. В пропало, что осталось на трубе?"Ответ: «и».