Основные элементарные функции

Перечислим основные элементарные функции, которые станут главным предметом нашего дальнейшего рассмотрения, они появляются при решении самых разнообразных задач и чаще других используются как в самой математике, так и в ее многочисленных приложениях.

Линейная функция, у = ах+ Ь> где ап b — заданные действительные числа.

Графиком линейной функции является прямая. Верно и обратное утверждение: всякая не вертикальная прямая является графиком некоторой линейной функции.

Пример Построить график функции у = -х + 1.

Чтобы провести прямую на плоскости хОу> достаточно построить две ее точки.

При х = 0 имеем у =1; полагая у = 0, находим х = -2. Через две точки Mj (-2, 0) и М₂(0, 1) проводим прямую, которая является графиком данной линейной функции (рис. 10.2).

Функция определена на всей числовой прямой.

Рис. 10.2. Линейная функция.

Квадратичная функция (квадратный трехчлен): у = = ах² + Ьх + с, где а, Ь> с — заданные действительные числа, а ^ 0. Графиком квадратичной функции является парабола, ось симметрии которой параллельна оси Оу. Высшая (или низшая) точка параболы (расположенная на оси симметрии) называется ее вершиной.

Свойства функции и вид ее графика (рис. 10.3) определяются в основном значениями коэффициента а и дискриминанта D = Ь² — Аас.

Рис. 103. Квадратичная функция.

Можно выделить полный квадрат из выражения для квадратичной функции:

и (или) разложить на линейные множители.

При D > 0 у = а{х — Х)(х — х₂), при D = 0 у = а (х — Х)²_У при D < 0 разложить на множители нельзя.

Область определения: х е (-°°; +оо). Область значений функции при а > 0 [- —; оо), при а < 0 (-°°; - — ]. При b = 0 4 а 4 а

функция четная, при b ^ 0 функция ни четная, ни нечетная. При D > 0 функция имеет два нуля: Х = ^ ', х₂ =

— a + Vd _{п п} -ь _п, «.

=—-; при D = 0 — один нуль — х_{ = —; при D < 0 ну;

^Za 2 а

лей нет.

Промежутки знакопостоянства:

Далее, опуская детали, продолжим рассмотрение элементарных функций. В каждом случае читателю предлагается провести самостоятельное исследование свойств функции, обосновывающие приводимый график.

Степенная функция, у = х^п. При п = 1 и при п = 2 функция, соответственно, принимает вид у = х и у = х²; в первом случае графиком является прямая, во втором — парабола (рис. 10.4). На этом же рисунке изображен график функции для п = 3 (кубическая парабола) и при п = В последнем случае функцию чаще записывают в виде: у = л[х.

Замечание. Обратим внимание на функцию у = л[х. Это соотношение равносильно тому, что х = у* (у > 0). 11о если в этом уравнении поменять ролями аргумент и функцию, т. е. поменять.

Рис. 10.4. Степенная функция местами х и г/, то мы придем к квадратной (функции у = х². Таким образом, в парс функций у = х² и у = л/х одна получается из другой, если аргумент и функцию поменять местами. По определению, такие функции называются взаимно обратными.

Степенная функция не является периодической ни при каких п. Если п — натуральное число, то функция является четной при четном п и нечетной при нечетном п. Если п нечетное, то функция возрастает на (-°°; +°°); если п — четное, то убывает на (-°°; 0] и возрастает на [0; +°°); если п — целое отрицательное число, то в этом случае функция определена при всех значениях х, кроме х = 0.

Показательная функция, у = а^х а> 0, а ^ 1. Эта функция (рис. 10.5) определена при всех значениях х. Ее область изменения (0; +°о). Если а > 1, то функция всюду возрастает; если 0 < а < 1, то убывает. Показательная функция не является периодической.

Логарифмическая функция: у = og_(tx; а > 0, а ^ 1. Эта функция (рис. 10.6) определена при х > 0. Ее область изменения — вся числовая ось (-°°; +°°). Если а > 1, то она возрастает на (0; +°°); если 0 < а < 1, то убывает. Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом, для него принято специальное обозначение: og_ex = In х.

Поскольку соотношение у = log"x, по определению логарифма, равносильно равенству х = а^у, то функция у = а^х и у = log".r взаимно обратные. Поэтому для построения логарифмических кривых достаточно зеркально отразить графики соответствующих показательных функций, изображенных на рис. 10.5, относительно биссектрисы первого и третьего координатного углов.

Рис. 10.5. Показательная функция.

Рис. 10.6. Логарифмическая функция

Тригонометрические функции.

1. Синус; у = sinx. Эта функция определена на (-°°; +°о). Ее область изменения [-1; + 1]. Синус — нечетная функция. Возрастает на (— + 2тш; - + 2лн), убывает на (^ + 2пп;

З_я 2 2 2.

— + 2пп), где п е Z Является периодической функцией с периодом Т= 2л (рис. 10.7).

2. Косинус, у = cosx. Область определения (-°°; +°о). Область изменения [-1; + 1]. Функция четная. Возрастает на (-л + 2лп; 2лп), убывает на (2ли + л + 2лп), где п е Z. Является периодической функцией с периодом Т = 2л (см. рис. 10.7).

Рг/с. 10.7. Тригонометрические функции синус и косинус.

• 7Z
• 3. Тангенс, у = tgx. Область определения (— + ли; - + пп), где п € Z. Область изменения (-°°; +°о). Функция

^ К К

нечетная. Возрастает всюду на (- - + пп; - + пп), п е Z. Является периодической функцией с периодом Г = л (рис. 10.8).

4. Котангенс; у = ctgx. Область определения (лн; л + пп), где п? Z. Область изменения (-°°; +°°). Функция нечетная. Убывает на {пп; л + пп), п е Z. Является периодической функцией с периодом Т= п (рис. 10.9).

Обратные тригонометрические функции: у = arcsinx, у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx. Как свидетельствует само название, эти функции являются обратными к соответствующим тригонометрическим функциям. Например, соотношение у = arccosx равносильно тому, что х = cos у (при этом у как радианная мера угла удовлетворяет ограничению: 0 < л < л). Поэтому для построения графиков обратных тригонометрических функций следует прибегнуть к уже испытанному приему: зеркально отразить соответственно.

Рис. 10.8. Функция тангенс Рис. 10.0. Функция котангенс синусоиду, косинусоиду, тангенсоиду и котангенсоиду относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, сохранив ту часть графиков, которая отвечает главным значениям угла. Графики обратных тригонометрических функций приведены па рис. 10.10 и 10.11.

Отметим, что аргумент х в формулах у = sinx, у = cosx и т. д. выражается в радианах. В элементарной тригонометрии при измерении углов за единицу отсчета чаще всего.

Рис. 10.10. Функции арксинус и арккосинус.

Рис. 10.11. Функции арктангенс и арккотангенс принимают центральный угол окружности, опирающийся на дугу, составляющую ¹ /зео окружности. Этот угол равен одному градусу (градусная система счисления). Но в научных расчетах применяется и другая система счисления углов, когда за единицу отсчета принимают центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Этот угол называется радианом (радианная система измерения углов). Угол в 1 радиан равен углу в ~ 57°,.

а угол в 180° равен углу в к ~ 3,141… радиана.

Сложная функция. Если у есть функция от м, переменная и есть функция от х, т.с. у = /(м), и = <�р (х), то у называется функцией от функции, или сложной функцией: у =/[<�р (х)].

Примеры сложных функций: у = log"(sinx), у = 2*^ту, у = = Vcosx.

Элементарной функцией назовем функцию, которая получена из основных элементарных функций и констант при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Алгебраические и трансцендентные функции. К алгебраическим функциям относятся:

• а) многочлены — у = «₀х» + арг" ^-1 + а₂х^п~² + … + а", в частности, линейная функция у = ах + b и квадратичная у = - ах² + Ьх + с;
• б) дробно-рациональные функции

т.е. функции, определяемые как отношение двух многочленов;

в) иррациональные функции, т. е. функции у =/(х), где наряду с операциями сложения, вычитания, умножения и деления производятся также операции возведения в степень с лнобными национальными показателями, например,.

Вообще, алгебраической функцией называется функция у =/(х), которая удовлетворяет уравнению вида.

где Р₀, Р, Р₂,…, Р" — многочлены, зависящие от х.

Функция, которая не является алгебраической, называется трансцендентной. Показательная, логарифмическая, тригонометрические функции являются трансцендентными.