Ряды. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Понятие сходящегося и расходящегося ряда.

Рассмотрим бесконечный ряд.

все члены которого суть комплексные числа, и образуем сумму пер' вых п членов этого ряда:

Давая п значения 1, 2, 3,…, мы получаем бесконечную последовательность комплексных чисел s_v s₂,…, s_n,…_t соответствующую ряду (22). Обратно, зная последовательность чисел s_n, легко написать соответствующий ей ряд, для которого сумма первых п членов равна s_n:

Мы условимся говорить, что ряд (22) сходится, если соответствующая ему последовательность чисел s_n сходится, и в этом случае назовём суммой ряда (22) предел указанной последовательности. Следовательно, ряд (22) называется сходящимся, если сумма (23) первых п его членов сходится, когда п стремится к бесконечности: Нт$_я = 5. Число 5 есть сумма данного бесконечного ряда.

п-+

Если сумма s_n первых п членов ряда (22) не сходится, то ряд (22) называют расходящимся.

В случае расходящегося ряда может случиться, что-либо сумма s_n первых п его членов стремится к бесконечности, либо s_n не стремится ни к какому определённому пределу. В первом случае ряд называют собственно расходящимся, во втором — колеблющимся. Из изложенного следует, что вопрос о сходимости или расходимости ряда (22) эквивалентен вопросу о сходимости или расходимости соответствующей последовательности комплексных чисел (23). Например, ряд 1 —Я• + • • сходится при |^|<�М ^и есть

собственно расходящийся при |^|^>1. Действительно, сумма s_n первых п членов этого ряда представляется так:

Так как qⁿ^q'ⁿ, то в случае |?|<0 число cf¹ стремится к нулю при неограниченном возрастании л, а в случае |^|^>1 стремигся к бесконечности. Следовательно, имеем: