Обобщённый метод осреднения Боголюбова-Митропольского для системы 2-х дифференциальных уравнений

В данном параграфе рассматривается обобщённый метод осреднения Боголюбова-Митропольского, применённый для решения системы 2-х дифференциальных уравнений.

При миниатюризации ММГ отношение поверхности к объёму подвижных компонентов намного больше, чем в макрообласти. В связи с этим поверхностные эффекты могут стать доминирующими факторами, определяющими характеристики ММГ. Микрометровые размеры датчиков вызывают новые эффекты, затрудняющие распространение на компоненты ММГ законов и отношений, справедливых для макроэлементов. Требуется уход от исследования линейных моделей и, как следствие, применение аппарата нелинейной теории упругости.

Имеются уравнения движения ММГ, представленные в виде:

(2.1).

где — малый безразмерный параметр ().

Стоит заметить, что решение системы (2.1) в первом приближении не требует введения малого параметра. Решая (2.1) в первом приближении, малый параметр вводится только для того, чтобы обозначить малые по значению параметры ММГ и структурировать решение. Заданный в такой форме малый параметр на момент получения окончательного результата расчёта в формульном виде исключается из решения путём приравнивания к единице.

Решение уравнений движения (2.2) по каждой обобщённой координате ищется в виде:

(2.2).

Параметры решения (2.2) определяются следующими дифференциальными уравнениями:

(2.3).

где — медленное время, — частотная расстройка.

Здесь малый параметр имеет уже вполне определённое значение, поскольку задаёт масштаб медленного времени.

Решение (2.2) с учётом (2.3) определяет решение нелинейной нестационарной системы с явно выраженной консервативной частью и с параметрами, медленно меняющимися с течением времени.

Продифференцируем решение (2.2), заменяя производные параметров, и выражениями согласно (2.3).

(2.4).

Получим первое приближение второй производной решения (2.2) путём дифференцирования (2.4) с учётом (2.3).

(2.5).

Получающиеся выражения при согласно определению малого параметра по первому приближению являются величинами 2-го порядка малости и могут быть отброшены. Исключение выражений 2-го порядка малости практически не скажется на решении, получающемся впоследствии.

Подставим (2.4) и (2.5) в (2.1).

(2.6).

Подставляя с учётом (2.2) и (2.3) в (2.6) и приравнивая выражения при соответствующих и, получаются уравнения для малых величин и, входящих в дифференциальные уравнения (2.3).

Решение (2.2), полученное данным методом, представляет практический интерес, поскольку содержит неучтённые другими методами осреднения компоненты. Наличие таких слагаемых повышает вычислительную точность решения, что увеличивает точность самого ММГ.