Основные сведения из физики полупроводников

Поскольку по физике полупроводников имеется обширная литература [1—3 и др.], в этом разделе с соответствующими ссылками конспективно изложены лишь те сведения, которые будут использованы при анализе свойств полупроводниковых приборов, а также даны необходимые определения. Основное внимание уделено полупроводниковым материалам, которые широко применяются для изготовления электронных приборов — моноатомным полупроводникам кремнию (Si) и германию (Ge), а также полупроводниковым соединениям А³В⁵, из которых наиболее освоен арсенид галлия (GaAs). Математические формулы максимально упрощены с учетом специфики этих материалов, а также условий эксплуатации изделий (ограниченный температурный диапазон). Далее в книге приведенный материал будет использован для необходимых ссылок, чтобы не перегружать выкладками основной текст.

Элементы зонной теории

В твердых телах с упорядоченной кристаллической структурой электроны имеют дискретный энергетический спектр. Разрешенные энергетические состояния группируются ъ разрешенные энергетические зоны, между которыми находятся запрещенные зоны — энергетические интервалы, недоступные для электронов. С учетом спинового вырождения число разрешенных s-состояний в разрешенной зоне равно удвоенному количеству атомов в кристалле, поэтому в единице объема каждая энергетическая зона содержит N_st — 2N_al разрешенных состояний, где N_ril ~ 10²² см^-3 — концентрация атомов в кристалле. Ширина разрешенных зон возрастает с увеличением энергии. Если две разрешенные зоны перекрываются, число разрешенных состояний в расширенной разрешенной зоне составляет N_a =AN_at.

Вероятность заполнения электроном разрешенного уровня снижается с увеличением энергии уровня и возрастает с ростом температуры. Поэтому разрешенные зоны, соответствующие достаточно высоким энергиям, остаются пустыми вплоть до температуры плавления кристалла. Последняя разрешенная зона, содержащая электроны, называется зоной проводимости, так как находящиеся в ней электроны могут передвигаться в каком-либо выделенном направлении (участвовать в проводимости) и создавать электрический ток. Электроны, заполняющие разрешенную зону полностью, участвовать в проводимости не могут.

В металлах зона проводимости заполнена частично, а расположенная под ней разрешенная зона — полностью. Поэтому электропроводность металлов обусловлена только электронами проводимости и весьма велика.

В нелегированных (собственных) полупроводниках при нулевой абсолютной температуре зона проводимости пуста, а находящаяся под ней валентная зона заполнена полностью. При этом электропроводность полупроводника равна нулю. При конечной температуре некоторое количество электронов переходит из валентной зоны в зону проводимости.

В твердом теле электроны обобществлены всем кристаллом, т. е. не принадлежат какому-либо конкретному атому. Поведение электрона описывается волновой функцией |/, которая является решением уравнения Шредингера. В идеальном кристалле на электрон действует самосогласованное электрическое поле, которое является суммой полей ионов решетки и всех электронов кристалла. Зонная теория твердого тела предполагает, что потенциальная энергия электрона в этом поле является периодической функцией с периодом решетки. При этом уравнение Шредингера имеет решение в виде функции Блоха.

где ij- — периодическая функция с периодом решетки кристалла; k — волновой вектор, г — радиус-вектор.

Таким образом, волновая функция ^(г) представляет собой плоскую волну е^{, кг} с периодически модулированной амплитудой.

Для свободного электрона с потенциальной энергией Е₀ модуляция амплитуды плоской волны отсутствует. В этом случае энергия электрона Е и его импульс р составляют.

где т₍₎ — масса электрона; v_n — групповая скорость.

Зависимость.

представляет собой закон дисперсии свободного электрона.

Из (1.1.3) следует, что групповая скорость свободного электрона составляет.

Под действием внешней силы F импульс и волновой вектор свободного электрона изменяются по закону.

В полупроводниковом кристалле закон дисперсии (1.1.3) искажен полем периодического потенциала. Он может быть представлен в виде многозначной функции Е (Л), полностью определенной в зоне Бриллюэна — области kпространства, размеры которой определяются периодом кристаллической решетки а. Для одномерной решеткик/а Для трехмерной решетки границы зоны Бриллюэна находятся в определенном соответствии с границами кристаллической ячейки в координатном пространстве. Многозначность функции Е (&) соответствует разделению энергетического спектра на разрешенные зоны.

В зоне проводимости электроны заполняют разрешенные состояния вблизи минимальной энергии Е (, (дно зоны проводимости). Энергии Ег соответствует значение волнового вектора kc. Если kc = 0 и Е (/е) = Е (/е) (т.е. энергетический минимум находится в центре зоны Бриллюэна и функция Е (&) не зависит от направления волнового вектора), то в окрестности точки k = kc-0 функция E (k) может быть представлена в виде.

Сравнение соотношений (1.1.66) и (1.1.3) показывает, что вблизи дна зоны проводимости электроны могут рассматриваться как квазичастицы — электроны проводимости, свойства которых отличаются от свойств свободных электронов только значением эффективной массы, определенной в (1.1.7). Энергия Е (: может считаться потенциальной энергией электрона проводимости, энергия trk1 / 2тп = р / 2тп — сто кинетической энергией, а величина.

— квазиимпульсом электрона проводимости. При этом величина v_n сохраняет значение групповой скорости, а соотношение (1.1.5) остается справедливым.

В общем случае и обратная величина эффективной массы является симметричным тензором, который в диагональном виде имеет компоненты т~_у т~, т~. При этом.

Для полупроводников типа А³В⁵ (например, GaAs) энергетический минимум Е = Е_с находится в центре зоны Бриллю;

эна (k_c = 0), а эффективная масса электрона может считаться скаляром (т_пХ = т_п2 = т_п'з ^{= т}п)• Д^ля моноатомных полупроюдников (Si, Ge) энергетический минимум Е = Е_г находится вблизи края зоны Бриллюэна, т_пХ = т_п2 = m_nt (поперечная эффективная масса) и т_п2 — m_nj (продольная эффективная масса).

В валентной зоне незаполненными электронами остаются только разрешенные состояния вблизи максимальной энергии E_v (потолок валентной зоны). При этом оказывается удобным рассматривать перемещения этих незаполненных состояний, введя понятие квазичастиц — дырок в валентной зоне. Заряд дырки положителен и равен заряду свободного электрона с противоположным знаком: q_p=e. Закон дисперсии дырок симметричен закону дисперсии электронов (1.1.66), так как энергии Е_г обычно соответствует нулевое значение волнового вектора k_r = 0, и Е (&) = Е (&). Точка k_r = О является точкой вырождения — в ней смыкаются две дисперсионные ветви.

где т_р1 > 0 и m_ph > т_р1 — эффективные массы легких и тяжелых дырок. Энергия Е_г может считаться потенциальной энергией дырок, энергии h²k² /2т_р,. = р², _h /2т_{р1 ph} — их кинетической энергией, а величины p_pl ph = m_pl phv_pl ph = Tik — квазиимпульсами дырок. Величины v_plph сохраняют значения групповых скоростей.

Вдали от границ разрешенных зон законы дисперсии квазичастиц и свободных электронов качественно различны.

Подробная информация о свойствах квазичастиц в полупроводниках содержится, например, в работах [4, 5].

Состояние электронов и дырок удобно представлять с помощью энергетических диаграмм, па которых изображаются только окрестности запрещенной зоны шириной.

В полупроводниках ширина запрещенной зоны составляет около 1 эВ. Этим они отличаются от диэлектриков, в которых ширина запрещенной зоны составляет несколько эВ.

При общей концентрации разрешенных состояний в зоне проводимости N_stc их концентрация в диапазоне энергии от Е_с до Е>Е₍. составляет N_SIC(E). Плотностью состояний в зоне проводимости называется концентрация разрешенных энергетических уровней в единичном интервале энергии g,.(E) = dN_src(Е) / dE. Вблизи дна зоны проводимости.

где т_{п (}/ =(MpW?"₁m"₂w_n3)¹^³ — эффективная масса плотности состояний для электронов; М_с — число эквивалентных минимумов энергии в зоне Брилллюэна. Аналогично, вблизи потолка валентной зоны.

где т_/н1 =(m³J² + m³_pj_l²)^2/3 — эффективная масса плотности состояний для дырок.