Рыночная модель с запасами

Рассмотрим так называемую рыночную модель с запасами. В этой модели запасы товара предполагаются как разность между предложением S и спросом D. Примем следующие допущения.

1. Спрос D (t) и предложение S (t) представляют собой линейные функции от текущей цены P (t):

2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запасов товара в предшествующий период времени, причем разница в ценах во времени пропорциональна отрицательной величине запасов с некоторым коэффициентом к (при наличии запасов цена на товар падает в последующий период времени):

Подстановка соотношений (21.29) в равенство (21.30) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены P (t):

Пусть Р₀ — значение цены в начальный момент времени t — 0, тогда решение этого уравнения имеет вил:

где Р. — (а + c)/(b + d) — равновесная цена или стационарное решение уравнения (21.31).

Введем, а = 1 — k (b + d).

Сходимость P (t) во времени к значению Р, существенно зависит от величины и знака основания, а степени в (21.32). Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи:

• а) 0 < а < 1, откуда к < /(b + d) — монотонная сходимость P (t) к равновесному значению Л;
• б) а = О, откуда к = /(Ь + </), т. е. P (t) = Р,;
• в) -1 < а < 0, откуда /(b + d) < к < 2/(b + d) — сходимость цены P (t) к равновесному значению Р. с колебаниями около него;
• г) а = -1, т. е. к = 2/(b + d) — две точки равновесия: Л и Р₀, на каждом шаге по времени цена «перескакивает* с одного значения на другое;
• д) а < -1, т. е. к > 2/(b + d) — цена P (t) расходится с увеличением амплитуды колебаний.

Все указанные случаи приведены на рис. 21.2 в виде соответствующих серий дискретных отрезков.