Оптимальное управление процессами культивирования микроорганизмов

Выбор оптиматьного технологического режима при выращивании микроорганизмов только путем опытного изучения процесса — задача, практически невыполнимая. Лишь современные математические методы исследования сложных систем позволяют учитывать влияние многих факторов и осуществлять теоретическую оптимизацию процесса.

Максимизация выхода биомассы в хемостате

При промышленном культивировании задача оптимизации состоит в первую очередь в повышении производительности установок. Если целевым продуктом является биомасса, производительность измеряется выходом биомассы с единицы объема культиватора в единицу времени. При непрерывном культивировании по типу хемостата после достижения стационарного режима работы эта величина постоянна. Производительность такого культиватора равна потоку биомассы на выходе (Романовский и др., 1975):

Для модели Моно, рассмотренной в разделе 6.1, безразмерная производительность выражается в виде:

На рис. 6.15 приведено семейство кривых при различных входных концентрациях. Для заданного значения уо производительность достигает максимального значения.

Рис. 6.15. Производительность проточного культиватора в зависимости от скорости протока. Цифры на кривых означают значение параметра уо- Пунктирные кривые соединяют точки максимумов: а — модель Моно; б — модель с учетом субстратного подавления; в — модель с учетом продуктного ингибирования Моно — Иерусалимского (Степанова, цит.: Романовский и др., 1975).

при Таким образом, в рамках модели Моно входная концентрация лимитирующего субстрата должна выбираться максимально возможной, а затем по формуле (6.6.4) находится оптимальное значение скорости протока, соответствующее максимальной скорости производительности.

Для моделей, учитывающих субстратное угнетение (6.1.21) и продуктное угнетение (6.1.22), значения максимальной производительности также растут при уо —> оо. Однако для модели с субстратным угнетением существует область гистерезиса — возможны два стационарных состояния при одной и той же скорости протока (рис. 6.156). В модели с продуктным угнетением максимум производительности стремится к конечной величине (рис. 6.15 в).

В реальных культиваторах на переменные и параметры накладываются некоторые ограничения. Обычно скорость протока, а также входная концентрация субстрата не могут превышать определенных величин в силу технологических условий. Концентрации биомассы в культиваторе, большие некоторых критических, приводят к перерождению культуры. При всех этих ограничениях с математической точки зрения оптимизация процесса культивирования сводится к решению задачи управления в допустимой области динамических переменных.

Рассмотрим простейшую постановку такой задачи для модели Моно (6.1.8) в безразмерных переменных (Романовский и др., 1975). Для упрощения предположим, что скорость протока не ограничена:

Ограничения накладываются на входную концентрацию субстрата, которая не может превышать определенной величины:

и на динамические переменные:

На фазовой плоскости переменных (х, у) неравенства (6.6.6), (6.6.7) определяют допустимую область в виде прямоугольника. Неравенство (6.6.5) задает ограничение на сумму переменных х 4- у — уо_т и область на плоскости (т, у) в виде треугольника. Пересечение этих областей задает допустимую область, заштрихованную на рис. 6.16.

В зависимости от соотношений между уь и уо_т могут быть четыре различные формы допустимой области (рис. 6.16 а-г).

Рис. б. 16. Различные случаи ограничений, наложенных на переменные хну (хк > Ук)• Допустимые области заштрихованы. Крестиками отмечены возможные точки достижения максимума производительности (Степанова: Романовский и др., 1975). Пояснения в тексте В случае (а) (уот < У к) треугольник заключен внутри прямоугольника, и максимум производительности будет в макисмуме кривой lj (D) при у = уот (см. рис. 6.16а, формулы (6.6.3), (6.6.4)).

В случае (б) (ук < Уот < %к) допустимая область — трапеция. си_тлх достигается здесь либо внутри отрезка прямой (точка 1 на рисунке), либо в точке 2 на пересечении прямых у = ук и х + у = уо_т. На рис. 6.17 приведены два типа зависимостей производительности а; от скоростей протока Z), при которых реализуются эти два варианта. Жирная кривая здесь определяет u (D) при у = уо_т. Ограничительные линии х = Хк представляют собой прямые, исходящие из начала координат (а; = Dx). При D = 0 duj/dD > уо и прямая х = Хк не пересекает Кривую 4 D).

Линиям у = ук на плоскости х = Хк соответствуют вертикальные прямые D — Dk = Ук/(1 4- У к) — В зависимости от соотношения Dk и D_m допустимая область может включать (Dk > D_m) или не Рис. 6.17. Возможные положения границ допустимой области. Цифрами и крестиками отмечены значения максимальной производительности: а — Ук < Уот < Хк б — Хк < УОт < Хк + Ук (Степанова: Романовский и др., 1975) включать (Dk2 < D_m) максимум кривой и){D). В первом случае шахи; достигается внутри допустимой области при D = D_m, во втором — на границе D = Dk2-

В случае (в) хк ^ Уот ^ %к + Ук- В отличие от предыдущего величина хк здесь также может ограничивать область значений скоростей потока. Граница допустимой области состоит из трех отрезков. Соответствующий график u (D) и ограничивающие прямые и; = Dx, k, Dk = г/д- / (1 + у к) представлены на рис. 6.176. Возможны три случая: 1) шахи; достигается в максимуме кривой и>(уо_т, D) при D = D_mi 2) на границе Dk = Ук/( + У к); 3) на другой границе допустимых скоростей протока D:

(точки 1−3 на рис. 6.17).

Случай (г): г/о_т ^ %к + Ук- Ограничения на входную концентрацию субстрата здесь не существенны. Допустимая область — прямоугольник Хк, Ук на плоскости (х, г/) и треугольник uj = XkD, D = Dk =

= 2/fc/(l + Ук) на плоскости (u, D). Максимум достигается в вершине допустимого прямоугольника:

Изложенный способ нахождения оптимальных режимов культивирования может быть использован для решения более сложных задач оптимизации.