Аксиоматизация и формализация

Среди способов прояснения научной теории особую роль играют выявление логических связей ее утверждений, минимизация ее исходных допущений, построение ее в форме аксиоматической системы и, наконец, если это возможно, ее формализация.

«Если мы требуем от наших теорий все лучшей проверяемости, — пишет К. Поппер, — то оказывается неизбежным и требование их логической строгости и большого информативного содержания. Все множество следствий теории должно быть получено дедуктивно: теорию, как правило, можно проверить лишь путем непосредственной проверки отдаленных ее следствий — таких следствий, которые трудно усмотреть интуитивно»^[1].

При аксиоматизации теории некоторые ее положения избираются в качестве исходных, а все остальные положения выводятся из них чисто логическим путем. Исходные положения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами (постулатами), положения, доказываемые на их основе, — теоремами.

Аксиоматический метод систематизации и прояснения знания зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря «Началам» Евклида — первому аксиоматическому истолкованию геометрии. Сейчас аксиоматизация используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др. Аксиоматический метод требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории, ясных логических связей ее утверждений. С этим связана довольно узкая его применимость и наивность попыток перестроить всякую науку по образцу аксиоматизированной геометрии Евклида.

Аксиоматизация теории не является универсальным научным идеалом. Аксиоматизация находит широкое применение в математике и в современной логике. Аксиоматизированы отдельные достаточно узкие фрагменты физики и биологии. Но неразумно требовать аксиоматизации каких-то частей антропологии или истории, социологии или психологии.

В свое время Б. Спиноза предпринял грандиозную попытку перестроить этику по образцу «Геометрии» Евклида: из немногих принятых аксиом выводились разнообразные «моральные теоремы». Сама этическая концепция Спинозы являлась оригинальной, но та «аксиоматическая» форма, в которую она была облечена, не проясняла, а только затемняла эту концепцию. Охотно прибегающая к аксиоматическому методу геометрия — не образец для этики, противящейся всякой аксиоматизации, точно так же как этика, которую невозможно аксиоматизировать, — не образец для геометрии.

Построение научной теории в форме аксиоматизированной дедуктивной системы не является идеалом и той конечной целью, достижение которой означает предел совершенствования теории.

Формализация может быть определена как отображение результатов мышления в точных понятиях и утверждениях. При формализации исследуемым объектам, их свойствам и отношениям ставятся в соответствие некоторые устойчивые, хорошо обозримые и отождествимые материальные конструкции. Цель формализации — уточнить содержание путем выявления его формы.

Формализация может осуществляться с разной степенью полноты. Первый шаг формализации — выражение результатов мышления в естественном языке. Дальнейшее углубление формализации достигается путем введения в естественный язык разного рода специальных знаков и созданием частично искусственных и полностью искусственных языков.

Особый интерес представляет логическая формализция, т. е. формализация, направленная на выявление логической формы выводов и доказательств.

Полная формализация теории имеет место тогда, когда совершенно отвлекаются от содержательного смысла ее исходных понятий и утверждений и перечисляют все правила логического вывода, используемые в доказательствах. В формализованной теории доказательство не требует обращения к содержанию используемых понятий, их смыслу. Доказательство оказывается последовательностью формул, каждая из которых либо является аксиомой (принимается без доказательства), либо получается из аксиом по указанным правилам вывода.

Формализация доказательства сводит процесс доказательства к простым операциям со знаками. Проверка формализованного доказательства (но не его поиск) является механической процедурой. Поскольку она носит алгоритмический характер, ее можно передать машине.

Формализация играет существенную роль в уточнении научных понятий. Многие проблемы не могут быть не только решены, но даже сформулированы, пока не будут формализованы связанные с ними рассуждения. Так обстоит дело, в частности, с широко используемым теперь понятием алгоритма и вопросом о том, существуют ли алгоритмически неразрешимые проблемы. Они существуют: подавляющее большинство проблем, решаемых человеком, не имеет никакого алгоритма своего решения. Только формализация дала возможность поставить вопрос: охватывает ли формализованная, так сказать, «машинная» арифметика всю содержательную арифметику?

Формализованное доказательство — это доказательство, записанное на специальном искусственном — формализованном — языке. Он имеет точно установленную структуру и простые правила, благодаря чему процесс доказательства сводится к элементарным операциям со знаками.

Формализованное доказательство — идеальное и неоспоримое доказательство. Но насколько реалистичен этот идеал, не слишком ли формализованные рассуждения отходят от обычных научных рассуждений? Можно ли полностью формализовать любую научную теорию?

Ответы на эти вопросы были получены в 30-е годы, когда был установлен ряд теорем, принципиально ограничивающих формализацию. Наиболее важная из них принадлежит австрийскому математику и логику К. Гёделю. В1931 г. он показал, что любая достаточно богатая по содержанию и являющаяся непротиворечивой теория неизбежно неполна: она не охватывает все истинные утверждения, относящиеся к ее области. Теорема Гёделя непосредственно относилась к арифметике и утверждала, что существует имеющее смысл утверждение арифметики целых чисел (обозначим это утверждение буквой Q, которое в рамках данной теории нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Но либо утверждение С, либо утверждение не-С истинно. Следовательно, в арифметике существует истинное утверждение, которое недоказуемо, а значит, и неразрешимо.

Эта теорема произвела эффект разорвавшейся бомбы не только в математике и логике. Она распространяется на любую формализованную теорию, содержащую арифметику, и говорит о внутренней ограниченности процедуры формализации, о невозможности представления достаточно богатой теории в виде завершенной формализованной системы.

Гёделевская теорема не дискредитирует, конечно, метод формализации. Но она говорит, что никакая формализация не способна исчерпать все богатство приемов и методов содержательного мышления. Сравнивая возможности человека и современных вычислительных машин, можно сказать, что для каждой конкретной задачи в принципе можно построить машину, которой эта задача была бы под силу. Нельзя, однако, создать машину, пригодную для решения любой задачи. Из гёделевской теоремы о неполноте следует непреложный вывод: природа и резервы человеческого разума неизмеримо тоньше и богаче любой из существующих или воображаемых вычислительных машин.

Теорема Гёделя иногда истолковывается как свидетельство внутренне непреодолимой ограниченности человеческого мышления. Такая пессимистическая интерпретация безосновательна. Теорема устанавливает границы только «машиноподобного», «вычисляющего» разума. Вместе с тем она косвенно говорит о могуществе творческого разума, способного создавать новые понятия и методы для решения принципиально новых проблем.

Выявление логических связей утверждений теории позволяет прояснить их дедуктивные взаимоотношения, установить определенную их иерархию и уточнить тем самым их смысл.

• [1] Поппер К. Логика и рост научного знания. С. 334.