Анализ. 
Геометрия: планиметрические задачи на построение

Анализ (поиск плана решения) состоит в установлении соотношений между искомыми и заданными элементами фигуры или между искомыми и заданными фигурами с целью нахождения плана решения.

Этап анализа — подготовительный и наиболее важный этап решения задачи на построение, ибо именно он дает ключ к решению.

На этапе анализа допускают, что задача уже решена, и выполняют от руки чертеж-набросок, в котором искомая и данные фигуры изображаются таким образом, что они находятся в тех отношениях, как это указано в условиях задачи.

На вспомогательном чертеже-наброске следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы она находилась в отношениях, указанных в условии задачи.

Если предварительный чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются построить какуюлибо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которой затем можно воспользоваться для построения искомой. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой вспомогательной фигуры Ф,. Затем подмечают, что построение фигуры Ф, сводится к построению фигуры Ф₂ и т. д. После конечного числа шагов можно прийти к фигуре Ф," построение которой уже известно.

В процессе анализа полезно вспоминать теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходные с теми, о которых говорится в условии задачи.

Для того чтобы полученный в ходе анализа план решения был бы пригоден для возможного более широкого выбора данных, желательно изобразить фигуру на чертеже-наброске в возможно более общем виде, чем более общий случай мы разберем при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение этой задачи.

Если анализ затруднителен и не удается найти план решения, то целесообразно в чертеж-набросок ввести дополнительные фигуры (сделать вспомогательные построения, выполнить то или иное геометрическое преобразование и т. д.). Но во многих случаях именно выбор целесообразных вспомогательных линий представляет основную трудность решения задачи на построение.

Покажем на двух задачах, каким образом проводится анализ и какие вопросы целесообразно поставить при решении задач.

Задача 2.1. Построить прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.

Решение

Анализ. Допустим, что задача решена и построен ДАВС, у которого ZA — прямой, АВ = с и АС + СВ = d (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Глядя на рисунок, мы видим, что если отрезок ВС отложить на продолжении отрезка АС, то получится точка D, положение которой известно, так как АС + СВ = d. После всего этого учащиеся должны ответить на следующие вопросы.

• 1. Есть ли на рисунке фигура, которую можно построить? (Есть. ДABD можно построить по двум катетам ВА и AD.)
• 2. После построения AABD сколько вершин искомого треугольника нам будет известно? (После построения AABD нам будут известны вершины, А и В искомого треугольника.)
• 3. Как можно найти третью вершину ААВС? (Поскольку ABDC равнобедренный, то вершина этого треугольника будет находиться на оси симметрии точек В и D.)

Задача 2.2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение

Анализ. Допустим, что задача решена и построен прямоугольный ДАВС (рис. 2.2), у которого ВС = a, AD = h_a и ZA = 90°.

Рис. 2.2.

Учащиеся должны ответить на следующие вопросы.

• 1. Есть ли на данном рисунке фигуры которые можно построить? (Есть. Отрезок ВС.)
• 2. Как можно построить отрезок ВС? (На произвольной прямой откладывается отрезок ВС = а.)
• 3. После построения отрезка ВС сколько вершин ДАВС будет построено? (После построения ВС будут известны две вершины ДАВС).
• 4. А как можно найти третью вершину? (Если ученик затрудняется ответить, то нужно задать дополнительный вопрос.)
• 5. Для нахождения третьей вершины А треугольника АВС сколько нужно данных? (Для нахождения вершины А нужно два условия.)
• 6. Какие условия не использованы? (Не использовано два условия: прямой ZA; высота h_a.)
• 7. Где должна находиться вершина угла А? (Прямой угол должен опираться на полуокружность, построенную на отрезке ВС как на диаметре, и находиться на расстоянии h_a от него.)