Принцип эквивалентности и уравнения гидродинамики и электродинамики в общей теории относительности

Уравнения Эйнштейна имеют вид [25−28]:

(1).

(2).

— тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно; - тензор Римана, — символы Кристоффеля второго рода.

В общем случае уравнения движения материальной точки в гравитационном поле можно представить в форме [25−28].

(3).

В последнее время появились исследования [11−17] и другие, в которых уравнение Навье-Стокса выводится прямо из уравнений (1) в многомерном пространстве с метрикой вида [12].

(4).

Уравнения Навье-Стокса следуют из уравнения (1) для пустого пространства с метрикой (4) путем решения методом последовательного приближения. В первом приближении выполняется уравнение неразрывности, во втором приближении выполняется система уравнений уравнения Навье-Стокса в форме.

(5).

Здесь — поле скорости, давление, плотность и кинематическая вязкость соответственно. Отметим, что описание полей ускорения, обусловленных соответствующими гравитационными потенциалами, в рамках общей теории относительности является вполне логичным и обоснованным. Однако принцип эквивалентности получил различное толкование у различных авторов.

Так, например, в [25] утверждается, что при переходе во вращающуюся систему отсчета возникают стационарные гравитационные поля. С другой стороны, в [26] приведены доказательства того, что полей ускорения не существует, что эти поля являются фиктивными. Поэтому во вращающейся системе координат возникают не гравитационные поля, а фиктивные «поля тяготения». Вайнберг [27] различает инерционные и гравитационные силы, поэтому его формулировка принципа эквивалентности сводится к утверждению, что «локально-инерциальные координаты, которые мы вводим в данной точке, могут быть выбраны так, что первые производные метрического тензора в точке исчезают».

Мы придерживаемся исходной формулировки принципа эквивалентности [29]: «инерция и тяжесть тождественны; отсюда и из результатов специальной теории относительности неизбежно следует, что симметричный „фундаментальный тензор“ () определяет метрические свойства пространства, движение тел по инерции в нем, а также и действие гравитации». Таким образом, любое ускорение эквивалентно изменению метрики и, следовательно, может быть описано метрическим тензором и уравнениями (1)-(3).

Частным случаем ускорения является такое, которое обусловлено движением электрического заряда в электрических и магнитных полях. Поэтому очевидно, что электромагнитное поля может быть представлено через изменение метрики [7−9]. Система уравнений электродинамики Максвелла может быть сведена к теории потенциала путем применения калибровки Лоренца [25].

(6).

(7).

(8).

Здесь обозначено — скорость света, плотность электрического заряда и вектор плотности электрического тока соответственно; - скалярный и векторный потенциалы. С учетом токов проводимости и токов преонов система уравнений (6)-(8) приводится к виду [30].

(9).

Рассмотрим для уравнения (9) длинноволновое приближение, в котором считаем, что произведение характерного масштаба на частоту значительно меньше, чем скорость света, т. е. .

Тогда, в уравнении (9) можно пренебречь второй производной по времени в сравнении с пространственными производными, а в уравнении (8) можно отбросить производную по времени от скалярного потенциала. В таком случае система уравнений (8)-(9) приводится к виду.

(10).

Здесь введен параметр вязкости системы .

Для системы уравнений (10) можно указать следующую гидродинамическую аналогию. Предположим, что токи преонов отсутствуют,, тогда система уравнений (10) в длинноволновом приближении приводится к виду уравнений модели, описывающей медленные течения вязкой несжимаемой жидкости:

(11).

Здесь векторный потенциал является аналогом поля скорости потока жидкости, а скалярный потенциал является аналогом давления [30]. Эта аналогия позволяет использовать результаты работы [22] для описания электромагнитных явлений в проводящих средах в общей теории относительности.

Электромагнитное поле, в силу указанной выше гидродинамической аналогии, можно считать продолжением микроскопического гидродинамического поля. Эта точка зрения получила развитие в трудах Гельмгольца, Кирхгофа, Стокса, Кельвина, Максвелла, Томсона, Пуанкаре и других. Исходной моделью являются уравнения Навье-Стокса, которые описывают геометрическую турбулентность пространства-времени [11].