Центральная симметрия. 
Геометрия: планиметрические задачи на построение

Определение 4.8. Симметрией относительно точки О называется преобразование плоскости, в котором соответственные точки МиМ' удовлетворяют условию: точка О — середина отрезка ММ'. Точка О называется центром симметрии.

Центральная симметрия с центром О обозначается так: Z₀.

Рассмотрим свойства центральной симметрии.

• 1. Центр симметрии — единственная неподвижная точка.
• 2. Всякая прямая, проходящая через центр, неподвижна. Других неподвижных прямых нет.
• 3. Если Z₀(7) = V, то I || I'. Центрально-симметричные прямые I и V параллельны.
• 4. В центральной симметрии неизменным является направление любой прямой.
• 5. Центральная симметрия — перемещение II рода.

В качестве примера решим методом центральной симметрии такую задачу на построение.

Задача 4.2. Даны прямые а, b и точка О. Построить на данных прямых точки X и У, симметричные относительно данной точки.

Решение

Пусть X е а, У е Ъ, где Z₀(X) = У (рис. 4.4). Так как X е а, то Y е а'. Отсюда следует, что точка У есть точка пересечения прямых а' и Ь. Чтобы построить точку У, надо построить прямую а' = Z₀(a). Для этого на прямой а произвольно возьмем точку А и найдем ее образ А'. По свойству центральной симметрии прямые, а и а' параллельны.