Организация движения к экстремуму

Организация движения к экстремуму в автоматической системе основана на контроле градиента и использовании его в законе управления. Такие системы называются градиентными экстремальными системами (рис. 11.13).

Рис. 11.13. Обобщенная функциональная схема градиентной экстремальной системы.

Существующие способы их построения используют как оценку значения градиента (системы с движением в функции градиента), так и оценку знака компонент градиента (системы с запоминанием экстремума, отдельные типы шаговых систем).

Градиентные системы первого порядка

Рассмотрим организацию движения к экстремуму на примере простейшего объекта управления, который описывается следующей системой уравнений:

Сформируем пропорциональный градиенту закон управления в виде.

Подставив закон (11.23) в уравнение объекта (11.22), получим уравнение замкнутой системы

которое представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение относительно переменной у. Полагая у = 0, запишем уравнение статики.

где зависимость G от t параметрическая. Поскольку к 0, из выражения.

(11.24) следует, что G (y, t) = 0.

Таким образом, в случае устойчивости замкнутой системы процессы в ней будут сходиться к точке равновесия, которая является точкой экстремума. Устойчивость движения в замкнутой системе можно обеспечить соответствующим выбором коэффициента усиления к, при этом выход на экстремум происходит автоматически. В некоторых случаях с помощью коэффициента к кроме устойчивости можно обеспечить определенную длительность переходного процесса в замкнутой системе, т. е. заданное время выхода на экстремум.

Пример 11.1. Для объекта, математическая модель которого имеет вид.

необходимо обеспечить выход на экстремум за заданное время t_n < 3 с.

Решение

В соответствии с законом (11.23) сформируем управление и = kG (y).

Так как известна модель статической экстремальной характеристики, то градиент можно определить аналитичргки и организовать алгоритм управления в виде и = 2ку.

В этом случае получим уравнение замкнутой системы у = 4ку.

Как видим, система имеет первый порядок, и для ее устойчивости корень характеристического уравнения р_{ = Ak должен быть отрицательным. Следовательно, необходимо выбирать коэффициент к < 0.

Числовое значение к определим, используя корневые оценки переходного процесса. Так как г ~ —, то получим k> 0,25.

К

Выбираем окончательно |/е| = 0,3. Алгоритм управления, обеспечивающий выполнение заданных требований, принимает вид и = -0,ЗС.

Структурная схема системы с рассчитанным законом управления представлена на рис. 11.14.

Рис. 11.14. Структурная схема системы для примера 11.1.