Понятие поля экстремалей и трансверсали

В некотором виде понятие поля экстремалей нами уже использовалось. Действительно, рассматривая совокупность экстремалей, соединяющих точки АиВи близких друг к другу в смысле близости 1-го или 0-го порядка, мы тем самым изучаем бесчисленное множество таких кривых или их поле. Обобщим это понятие и дадим строгое определение поля.

Предположим, что имеется некоторая односвязная область Q на плоскости (х, у).

0.2.1. Пусть имеется семейство кривых {у (х)} с Я, таких, что кривые принадлежат классу С (Я) и через каждую точку Я проходит только одна кривая семейства. Тогда мы будем говорить, что семейство кривых образует поле, причем если эти кривые есть экстремали, то говорим о поле экстремалей, которое покрывает область Я.

Далее всюду рассматриваем именно поля экстремалей.

Как видим, в нашем определении нет условия прохождения семейства через точки А и Д, однако имеет место следующее определение.

0.2.2. Если семейство кривых поля {у (лг)> в области Я исходит из одной точки А (а, у (а)), то такое поле назовем центральным, а саму точку А — центром поля (рис. 2.7).

В дальнейшем нам будет удобно рассматривать семейство кривых поля |у (х)} как монотонную функцию некоторого параметра С: {у (х, С)}, при этом очевидно, что для центрального поля.

Aa, C)=№ (C_ah), где С и C_b — заданные величины.

Заметим, что в качестве параметра С можно выбрать угловой коэффициент экстремали в начальной точке А, а именно принять С = у'(а) для данной экстремали.

Рис. 2.7. Пример центрального поля В нашем определении центрального поля правые концы кривых остаются свободными. Отметив это обстоятельство, мы вернемся к нему далее, а сейчас определим собственное поле экстремалей следующим образом.

0.2.3. Пусть Г_а и Г_Л — некоторые кривые из класса С¹ (О). Если семейство кривых {у (х, С)} с С¹ (Q) в области Q таково, что концевые точки кривых лежат на Г_ы и Г_Л, причем С_а < С < С_ь при а КхКЬ

и^->0 или ~~ ^ 0 при всех допустимых С, а также предполагая, а С а С чтоу (х, Q разрешимо относительно С, т. е. С= (3(х, у) при всехх и у из допустимой области, такое поле экстремалей назовем собственным (рис. 2.8).

Предположим, что на всем промежутке [а, Ь при рассмотрении задачи для функционала J выполнено усиленное условие Лежан.

Рис. 2.8. Пример собственного поля 50.

дра /_уУ> 0, т. е. /_уУ Ф 0 ни в одной точке промежутка. Рассмотрим в этом предположении центральное поле экстремалей {у (х, С)} с центром в точке А.

0.2.4. Некоторая кривая Г называется трансверссиью поля экстремалей {у (х, Q}, если каждая экстремаль поля пересекает эту кривую трансверсально, т. е. для нее выполняются условия трансверсальности.

Рис. 2.9. К понятию трансверсали.

Такое определение трансверсали требует пояснения. Ранее мы установили, что условия (2.14), записанные, например, для правого конца, означают связь между угловым коэффициентом касательной к экстремали у' и угловым коэффициентом касательной ф’к той кривой, по которой перемещается правый (в рассматриваемом случае) конец экстремали:

видим, что трансверсали — это такая совокупность кривых Г (х), лежащих в пределах области Q, для которых в каждой точке поля

dy

экстремалей выполняется соотношение (2.27). Подчеркнем, что —.

dx

в этом выражении — это локальный угловой коэффициент касательной к трансверсали в данной точке, тогда как уугловой коэффициент касательной к экстремали в этой же точке (рис. 2.9).

Замечание 2.7. Часто в литературе вместо термина трансверсали используется термин геодезические парамели, а угловой коэффициент касательной к трансверсали называют геодезическим наклоном.