Кинематическое возбуждение при т «М

Если перед проектировщиком ставится задача защиты объекта, находящегося на вибрирующем основании (рис. 12.4), то в простейшем случае, с учетом сделанных выше предположений, данная задача сводится к анализу динамической схемы, представленной на рис. 12.1.

Рис. 12.4.

Дифференциальное уравнение, описывающее колебание массы т, может быть записано в виде.

где S (t) — перемещение основания М.

Данное уравнение можно представить в виде.

Если ^(^представляет собой монохроматические колебания, то член F (t), стоящий в правой части уравнения (12.10), приобретает смысл гармонической возмущающей силы. Очевидно, что анализ уравнения (12.10) аналогичен анализу уравнения (12.4), проведенному ранее. Совпадают и вытекающие из этого анализа рекомендации.

Динамическое гашение колебаний

Динамический гаситель, присоединяемый к объекту, формирует дополнительные динамические воздействия, прикладываемые к объекту в точках присоединения гасителя. Динамическое гашение осуществляется при таком выборе параметров гасителя, при котором эти дополнительные воздействия частично уравновешивают (компенсируют) динамические воздействия, возбуждаемые источником.

Схема простейшего динамического виброгасителя представлена на рис. 12.5.

На массу m_v упруго соединенную с основанием, действует приложенная сила F (t), которую будем в дальнейшем полагать монохроматической.

Задача ставится следующим образом: выяснить возможность снижения амплитуды колебаний массы т_х за счет введения дополнительной массы т_г упруго соединенной с массой т_у С целью упрощения задачи полагаем, что система недиссипативна, т. е. рассеяния энергии в упругих связях не происходит.

Дифференциальные уравнения, описывающие движения масс т_{ и т₂, могут быть записаны в виде.

Рис. 12.5.

Поскольку система недиссипативна, то колебания отдельных масс либо совпадают по фазе с внешней возмущающей силой, либо находятся с ней в противофазе (сдвиг 180 градусов).

Частное решение системы (12.11) может быть представлено в виде.

где 0 — коэффициент распределения амплитуд колебаний.

Величину 0 определяем, подставив соотношение (12.12) во второе уравнение (12.11):

Для искомого периодического решения системы (12.11) справедливо равенство.

Подставляя (12.14) в первое уравнение системы (12.11), получим.

Решение системы линейных дифференциальных уравнений может быть сведено к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка вида (12.15).

Нетрудно получить.

Знаменатель дроби может обращаться в нуль при изменении параметров системы, т. е.

Данное уравнение является частным уравнением системы, у которого два корня со, и со₂, являющиеся частотами собственных колебаний системы. В нуль может обращаться и числитель дроби в правой части соотношения (12.16), т. е.

с.

Обозначим эту частоту через со. Очевидно, со² = —=—.

^л т

При выполнении соотношения (12.17) амплитуда А колебаний массы т₁ обращается в нуль, и, следовательно, масса /77, становится неподвижной. Это явление называется антирезонансом, а частота со, при которой это происходит, — частотой антирезонанса.

Частота антирезонанса совпадает с частотой собственных колебаний массы т₂ при неподвижной массе т_у Неподвижность массы т_х в точке антирезонанса гарантируется только выполнением соотношения (12.17).

Определим амплитуду колебаний массы т_Т Из соотношения (12.16) и (12.17) получим.

Очевидно, что если масса т₂ оказывается малой, то при фиксированной со_л жесткость с₂ также мала, большой оказывается амплитуда 0_Г Чтобы ее уменьшить, приходится увеличивать массу т_Т