Спин электрона. 
Квантовая механика и квантовая химия

Электрон имеет собственный момент импульса (спин s), но такой, что его проекция на любое направление, выбираемое как направление оси z, sz принимает только два значения.

Спин не имеет аналогии в классической физике, а является новой характеристикой микрочастицы, независимой от координат или импульсов. Поэтому получить выражение для оператора спина на основании соотношений между наблюдаемыми в классической физике нельзя. В опытах спин проявляется так, как если бы электрон действительно имел собственный магнитный момент, соответствующий механическому моменту. Поэтому спин называют собственным моментом электрона. Действительно, например, при прохождении через неравномерное магнитное иоле поток электронов или пучок атомов водорода распадается на два. Спин автоматически появляется только в релятивистской теории электрона (см. параграф 7.6), поэтому для объяснения экспериментальных данных в рамках нерелятивистской квантовой механики его приходится вводить искусственно.

Спин сопоставляется с оператором спина S и операторами проекций спина S_x, S_y, S_z. Аналогично оператору квадрата орбитального момента импульса электрона М² теперь можно дать определение оператора квадрата собственного момента импульса S² электрона.

Подобно операторам момента импульса М_х, М_у, M_z имеют место коммутационные соотношения.

Так как операторы только проекций спина связаны между собой коммутационными соотношениями, то независимой переменной может служить лишь одна из проекций. Ее обычно считают проекцией на ось z.

Поскольку операторы проекции спина и квадрата спина коммутируют, то точная волновая функция частиц, обладающих спином, должна быть собственной функцией каждого из этих двух операторов и давать правильные собственные значения этих операторов. Это требование часто используется в квантовой химии для определения качества найденной волновой функции.

Таким образом, имеются два собственных значения проекции спина на какое-либо направление, например на ось г:

Кроме того, в своем собственном представлении матрица оператора диагональна и содержит расположенные по диагонали собственные значения оператора. Поэтому построим матрицу оператора S_z в ее собственном представлении.

Операторы S_x и S_y не коммутируют между собой и с S_z. Следовательно, они не могут иметь диагональный вид в одном и том же представлении.

Учитывая свойства коммутации операторов спина, можно показать, что в 5₇-нредставлении операторы остальных проекций спина электрона имеют следующий вид:

Удобно записать операторы S_x, S_v, S_z с помощью матриц ст_х, <�х_у, a_z, называемых матрицами Паули:

Здесь.

Соответственно матричной форме оператора проекции спина электрона на ось 2 волновая функция, зависящая от спина, записывается в виде столбца с двумя строчками:

При этом |v|/||² dxdydz является мерой вероятности того, что в момент времени t электрон имеет координаты х + dx,

у + dy, z + dz и проекцию спина на ось z, равную —. Ана;

2 ^ логично |j/₂| dxdydz характеризует вероятность того, что в тот же момент времени и при тех же координатах электрон.

имеет проекцию спина на ось г, равную .

В большинстве задач квантовой механики и квантовой химии значение спина электрона не зависит от его пространственных координат, тогда вероятность той или иной проекции спина не зависит от координат электрона. В этом случае волновую функцию можно переписать в виде произведения только пространственной Т (а;, у, z, t) и только спиновой ^vF (.v) составляющих функций (см. параграф 2.7):

Введем некоторые численные коэффициенты с, и с₂, квадраты которых

есть вероятности осуществления проекций спина на ось z, 11.

равных — и — соотвественно. 1огда спиновая волновая 2 2.

функция может быть записана в виде.

Теперь операторное уравнение на собственные значения и собственные функции оператора S_z приобретает вид.

Раскрываем получившееся уравнение.

и находим, что собственные значения оператора проекции спина действительно оказались равными ±—:

Конкретизируем теперь вид собственной функции оператора S_z. Для этого поочередно подставим каждое из полученных собственных значений в последнее равенство двух столбцов и найдем значения коэффициентов с, и с_г При 1.

s_?t = — имеем ^zl 2

В случае s_z2 = получаем:

Таким образом, собственные волновые функции оператора S_z имеют вид.

Аналогично, привлекая дополнительно условие нормировки.

находим, что собственные функции операторов S_x и S_y имеют вид:

Операторы составляющих квадрата спина равны.

Введя в эти выражения значения о* > Оу,, найдем, что.

Последние три спиновых оператора, как и остальные, записаны в S;-представлении, однако их матрицы оказались диагональными. Очевидно, что диагональной будет и их сумма, которая, поскольку спин есть вектор, является оператором квадрата спина.

Собственные значения (S²) оператора квадрата спина находятся аналогично собственным значениям квадрата механического момента импульса, описываемого уравнением (2.3).

Из системы коммутационных отношений (2.4) следует, что операторы проекций спина на выбранные оси S_x, S_y и S_z коммутируют с оператором квадрата спина S². Поэтому на основании теоремы о системе функций и операторах (см. параграф 1.2) можно заключить, что собственные функции операторов S_x, S_y и S_z являются собственными функциями и оператора квадрата спина S².