Пространственная решетка. 
Дифракционный структурный анализ

В структуре идеального кристалла все гомологичные (одинаково расположенные) точки располагаются бесконечными правильными симметричными рядами. Кратчайшее из расстояний между гомологичными точками в бесконечном ряду называется кратчайшей или основной трансляцией а, или периодом трансляции, периодом идентичности ряда, параметром ряда. В структуре кристалла это междуатомное расстояние. Ряды, сетки и кристаллические решетки представляются бесконечными.

Преобразование, с помощью которого точка не поворачиваясь, повторяется в пространстве, т. е. ее параллельный перенос, называется преобразованием с помощью трансляции или просто трансляцией. Повторяя с помощью трансляции какую-либо точку, получаем бесконечный периодический ряд гомологичных точек на расстояниях -а, …, а, 2а, За, …, па, … Характеристикой этого ряда служит вектор трансляции а. Гомологичные точки, связанные между собой преобразованием трансляции а, называются узлами ряда. Узел ряда, также, как в дальнейшем узел плоской сетки или пространственной решетки, не обязательно должен совпадать с материальной частицей.

Повторяя точки симметричного ряда с помощью другой трансляции а₂, не параллельной первой, получим систему гомологичных точек в виде плоской сетки. Двумерная плоская сетка полностью определена двумя трансляциями а| и а₂, или же тремя произвольными узлами, не лежащими на одной прямой. Параллелограммы, вершины которых являются узлами, называются ячейками плоской сетки. Любая пара трансляций, не лежащих на одной прямой, повторит гомологичные точки в виде плоской сетки, но принято выбирать в качестве основных параметров плоской сетки так называемые элементарные трансляции — кратчайшие и отражающие симметрию сетки.

Рис. 3.3. Элементарная ячейка.

Ячейка, сторонами которой являются элементарные трансляции, называется элементарной ячейкой плоской сетки. Элементарная ячейка примитивная, если внутри нее нет узлов. Площадь примитивной ячейки равна площади, приходящейся на один узел сетки, т. е. для данной сетки это величина постоянная.

Бесконечное повторение узла тремя некомпланарными трансляциями даст пространственную решетку, т. е. трехмерную симметричную систему гомологических точек. В качестве основной тройки а_ь а₂ и а₃ трансляций пространственной решетки также принято выбирать кратчайшие и наилучшим образом отражающие симметрию решетки трансляции.

Параллелепипед, сторонами которого являются три элементарные трансляции, называется элементарной ячейкой или элементарным параллелепипедом.

Принято обозначать длины элементарных трансляций, т. е. ребра элементарной ячейки, буквами а, Ь, с, углы между ними — греческими буквами а, (3, у (рис. 3.3).

Трансляционная группа элементарной ячейки включает в себя три элементарные трансляции а_ь а₂, а₃, соответствующие трем ребрам ячейки и полностью характеризующие решетку.

Если известны три основные трансляции а, а₂, а₃, то положение любого узла в решетке определяется вектором.

где т, п, р — целые числа, а векторы а_ь а₂, а₃ составляют векторный базис решетки. В дальнейшем для обозначения осей системы координат мы также будем использовать символы Х, Х₂, Х₂.

Величины а, Ь, с, а, р, у или параметры кристалла (метрика кристалла) являются материальными константами каждого кристаллического вещества. В общем случае в кристаллах аф Ьф с, аф $Фу Ф я/2, т. е. основные трансляции не равны и не ортогональны.

Пространственные решетки — естественная основа кристаллографических координатных систем. За начало координат выбирается какой-либо из узлов решетки, а три элементарные трансляции, пересекающиеся в этом узле, рассматриваются как векторы а, а₂, а₃, исходящие из начала координат. Эти векторы (так называемые ковариантные базисные векторы) заведомо некомпланарны, в противном случае объем элементарной ячейки был бы равен нулю. Онито и определяют кристаллографическую систему координат: их направления совпадают с ее осями X (a), Y (а₂) и Z (a₃), а их длины представляют естественные единицы измерений вдоль соответствующих осей. Векторы а_ь а₂, а₃ образуют правую тройку. Соответственно кристаллографическая система координат XYZ — всегда прямолинейная, правая, но в общем случае косоугольная с различными единицами расстояния по различным осям.

Пространственная решетка — это геометрическое построение, с помощью которого в кристаллическом пространстве выявляются гомологичные точки. Иначе говоря, пространственная решетка — это схема трехмерной периодичности распределения частиц в структуре кристалла. Решетка отображает симметрию структуры, независимо от того, совпадает ли узел с атомом того или другого типа, или с промежутком между атомами. В последнем случае в пространстве симметрично повторются промежутки и окружающие их атомы.

Рис. 3.4. Многозначность выбора элементарного параллелограмма.

В низкосимметричных косоугольных решетках элементарную ячейку можно выбрать бесконечным числом способов (рис. 3.4). Единственное требование заключается в том, чтобы эти ячейки не содержали лишних узлов, и, следовательно, были бы равновелики по объему.

Элементарную ячейку всегда можно выбрать в виде примитивного параллелепипеда, содержащего один узел решетки. Элементарную область решетки можно определить и по другому принципу, а именно, как область периодического пространства, целиком принадлежащего данному узлу. Это и будет собственная область узла. Математики ее называют областью Вороного, кристаллографы — параллелоэдром Федорова, физики твердого тела — ячейкой Вигнера-Зейтца и зоной Бриллюэна (в случае обратной решетки). Выбор собственной области узла решетки всегда однозначен.

Для нахождения собственной области берут какойлибо узел решетки, соединяют его прямыми с остальными узлами и через середины полученных отрезков проводят перпендикулярные плоскости (рис. 3.5). Эти плоскости отсекают вокруг узла замкнутую область, все точки которой расположены к данному узлу ближе, чем к остальным узлам. Это и будет собственная область узла решетки. Точки на границах области принадлежат двум соседним узлам. Собственные области могут совпадать, а могут и отличаться по форме от элементарного параллелепипеда.

Рис. 3.5. Выбор собственной области узла решетки.

Структура кристалла — это конкретное расположение материальных частиц в пространстве, симметрия, законы или мотивы этого расположения.